Аттрактор Лоренца — Википедия


§ О17. Динамические системы — сложное поведение

… И в небе и земле сокрыто больше,
Чем снится вашем мудрости, Горацио.

У. Шекспир. Гамлет, принц Датский

Все смешалось в доме Облонских.

Л. Толстой. Анна Каренина

Плохая физика; но зато какая смелая поэзия!

А. Пушкин. Примечания к Подражаниям Корану

В этом очерке мы опишем пример одной динамической системы, привлекающей последние тридцать лет большое внимание исследователей. Эта трехмерная динамическая система была введена в научный обиход в занимавшемся моделированием атмосферных процессов. С тех пор она вызывала и продолжает вызывать огромное число исследований и публикаций. Основной причиной, породившей такой интерес к системе уравнения Лоренца, является хаотическое поведение ее траекторий. Ясности в исследуемых вопросах еще нет. Некоторые результаты обоснованы только на «физическом уровне строгости» или численно и говорит о сформировавшейся теории рано. Поэтому изучение рекомендуемой литературы требует довольно высокой математической подготовки. По этой же причине этот очерк не сопровождается задачами.

Система уравнений Лоренца — это трехмерная система нелинейных автономных дифференциальных уравнений первого порядка вида

x1= –sx1 + sx2,

x2= –x1x3 + rx1x2,

x3= x1x2bx3.

(1)

В ней s, b и r — параметры. Эта система возникла в задаче о моделировании конвективного течения жидкости, подогреваемой снизу. Такое течение описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Система (1) получается из нее проектированием на специальное трехмерное подпространство.

В результате численного интегрирования системы (1) обнаружил, что при и у этой динамической системы, с одной стороны, наблюдается хаотическое, нерегулярное поведение всех траекторий (см. , на котором изображена зависимость координаты x2 одной из траекторий от времени), а, с другой стороны, все траектории притягиваются при к некоторому сложно устроенному аттрактору (от англ. to притягивать, привлекать).

Такое поведение решений ассоциируется с так называемыми турбулентными (беспорядочными, хаотическими) течениями жидкости. Это породило надежды на продвижение в одной из важнейших проблем современной гидро- и проблеме описания турбулентности. В частности, этим объясняется бурный интерес ученых к этой системе. К настоящему времени ответ на вопрос: имеет ли отношение к турбулентности система Лоренца и ее аналоги не известен. Хотя здесь есть масса доводов как pro, так и contra.

Мы попытаемся описать имеющиеся представления о появлении и структуре аттрактора в системе Лоренца. Зафиксируем в (1) и будем увеличивать r, начиная с нуля.


Рис. 2.

При r < 1 система Лоренца имеет асимптотически устойчивую в целомстационарную точку — начало координат. К ней притягиваются все траектории (см. ). Здесь же отметим, что начальная стадия нашего анализа (вплоть до ) элементарна и читатель может проделать ее сам.

Когда r переваливает через единицу, происходит первая бифуркация. Начало координат теряет устойчивость и от него отделяются две новые устойчивые стационарные точки

X1 = (Цb(r – 1), Цb(r – 1), r – 1)

и

X2 = (–Цb(r – 1), –Цb(r – 1), r – 1)

Рис. 3.

У линеаризованной в нулевой стационарной точке системы два отрицательных и одно положительное собственное значение. В соответствии с этим у нулевой стационарной точки есть двумерный входящий ус и одномерный выходящий (см.

). У линеаризованных в точках X1 и X2 систем все собственные значения отрицательны.

При возрастании параметра r пара отрицательных собственных значений этих систем превращается в пару комплексно сопряженных собственных значений. Это, в частности, соответствует тому, что выходящие усы G1 и G2 нулевой стационарной точки начинают закручиваться как спирали около стационарных точек X1 и X2, соответственно (см. ).


Рис. 4.

Рис. 5.

С дальнейшим ростом r стационарные точки X1 и X2 поднимаются выше (они лежат в плоскости а спиралевидные траектории «разбухают». Это происходит до тех пор, пока при (это значение можно найти только численно) спирали, начинающиеся как выходящие усы нуля, попадают на его входящий ус, образуя две гомоклинические траекторииG1 и G2 (см. ).

При возрастании r в этот момент происходит бифуркациягомоклинических траекторий с образованием двух неустойчивых цикловF1 и F2 (см. ). Линейные части операторов последования, отвечающих этим циклам, имеют по одному мультипликатору большему единицы и по одному — меньшему единицы, и следовательно, по одному направлению траектории к этим циклам притягиваются, а по другому — отталкиваются. Выходящие усыG1 и G2 нулевой стационарной точки теперь уже не попадают на ее входящий ус (см. ) — они попадают в области притяжения стационарных точек X2 и X1, соответственно (а не X1 и X2, как было раньше) и закручиваются около них.


Рис. 6.

При r» 24.06 происходит очередная бифуркация и G1 и G2 попадают на притягивающие многообразия (неустойчивых) цикловF2 и F1 (см. ). Следующая бифуркация происходит при В этот момент у линеаризованных в точкахX1 и X2 систем появляется пара собственных значений на мнимой оси (при эти собственные значения имеют положительные вещественные части). Стационарные точки X1 и X2 поглощают неустойчивые циклы F1 и F2, теряя устойчивость (бифуркация Хопфа).

Система жестко возбуждается.


Рис. 7.

Во время описанного процесса, начиная с r = 13.92 у системы Лоренца появляется предельное инвариантное множество, но до оно не является устойчивым, не притягивает к себе траектории. При это множество L становится «устойчивым». Это и есть собственно аттрактор Лоренца. Представление о том как он выглядит может дать , на котором изображена одна траектория системы Лоренца при при она стремится к аттрактору. Траектория делает по несколько оборотов то вокруг неустойчивойстационарной точкиX1, то вокруг неустойчивой стационарной точки X2, меняя их «случайным образом» (см. ).


Рис. 8.

Известно, что аттрактор Лоренца обладает следующими свойствами (обоснование этих свойств к настоящему моменту содержит эмпирические этапы, основанные на результатах численных расчетов).

Во-первых, L является аттрактором в том смысле, что существует открытое в R3 множество A такое, что (здесь оператор сдвига по траекториямсистемы Лоренца). Другими словами, все траектории, начинающиеся в A (в данном случае в качестве A можно взять все R3, исключая начало координат), притягиваются к L.

Во-вторых, в L имеется всюду плотное множество периодических траекторий, причем каждая из них неустойчива.

В-третьих, траектории, лежащие в L, экспоненциально разбегаются и поэтому при сколь угодно малом возмущении начальных данных в задаче Коши для системы Лоренца решения на большом интервале времени могут различаться очень сильно. Это делает описываемый системой Лоренца процесс в некотором смысле недетерминированным.

В-четвертых, известно, что локально аттрактор Лоренца устроен как произведение канторова совершенного множества на отрезок.

Аттракторы, обладающие перечисленными свойствами, обнаружены сейчас во многих динамических системах. Их обычно называют странными аттракторами.

С тем, что происходит в системе Лоренца при больших r ясности пока нет. В некоторых интервалах изменения параметра обнаружены устойчивые периодические решения. Интересное явление наблюдается при и При система Лоренца имеет устойчивый цикл, который при уменьшении rиспытывает бифуркацию удвоения периода, теряя устойчивость и порождая устойчивый цикл двойного периода. При дальнейшем уменьшении r новый цикл также теряет устойчивость и от него, в свою очередь, ответвляется цикл двойного периода Таким образом, возникает бесконечная последовательность {rk} значений параметра, при котором система Лоренца испытывает бифуркацию удвоения периода. Эта последовательность удовлетворяет недавно открытому закону универсальности Фейгенбаума:

lim
k®Ґ
rkrk–1


rk+1rk
= d,

где d = 4.6692… — универсальная постоянная, которая, по современным представлениям, по-видимому, не зависит от конкретной динамической системы, испытывающей бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода.

Литературные указания. Данный раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений новый и бурно развивающийся. Результаты описаны, в основном, в статьях и монографиях. (По этой же причине отсутствуют задачи в конце очерка.) Учебной литературы пока нет. Мы можем порекомендовать для начального изучения [ Мак-Кракен, Ланда, Странные аттракторы].

Апплет на рис. 9 позволяет просматривать поведение некоторых динамических систем с хаотическим поведением, самостоятельно задавая значения параметров.


Бабочка Лоренца

Среди самых модных концепций в науке последних лет фигурирует «хаос». Записные поклонники уравнений знают, что это многозначное слово подразумевает странное поведение некоторых «нелинейных динамических систем», то есть невозможность предвидеть развитие явления, хотя оно и описывается уравнениями, детерминистскими донельзя. Априори предсказуемые, некоторые физические явления перестают следовать какому-либо закону и становятся хаотическими. Простой маятник может «сойти с ума» под действием бесконечно малого возмущения, а Солнечная система, служащая образцом регулярности, на самом деле пребывает в состоянии неустойчивого равновесия: через несколько миллионов лет она будет напоминать известный рекламный ролик одного газированного напитка, в котором планеты скачут с большим неистовством, чем тинейджеры шестидесятых. Не говоря уж о хаотической природе земной атмосферы — мы ежедневно получаем доказательства в виде ошибочных прогнозов погоды. Об этом еще в 1902 году писал в своей книге «Наука и гипотеза» Анри Пуанкаре: «На одну десятую градуса больше или меньше в такой-то точке… и циклон разразится здесь, а не там». А русский математик Колмогоров не преминул развить это любопытное наблюдение, хотя и не смог прийти к наглядным выводам по причине отсутствия достаточно мощного компьютера.

Именно метеорологу Эдварду Лоренцу довелось в 1972 году продемонстрировать возникновение знаменитого «детерминистского хаоса», немедленно давшего заметный толчок всем разделам науки. Менее известно, что он вторгся также в литературу и кино — но не через поголовное увлечение нелинейной динамикой, а благодаря удачной метафоре, ее символизирующей. Желая проиллюстрировать, как совершенно незначительное возмущение может столкнуть систему в хаотическое поведение — физики замысловато называют такое свойство системы «чувствительностью к начальным условиям», — Лоренц выступил с докладом, озаглавленным (впрочем, не им) так: «Может ли бабочка в Бразилии взмахом крыла вызвать смерч в Техасе?» Что там смерч — эта бразильская бабочка повлекла за собой целую бурю на страницах журналов и газет, ибо верно говорят, что хороший пример порой важнее, чем длинный расчет. «Эффект бабочки» стал обязательным элементом любой попытки научной популяризации — идет ли речь о лирическом отступлении внутри научной статьи или о сценарии рассчитанного на успех кинофильма. Так, герой Роберта Редфорда в «Гаване» Сидни Поллака озадачивает свою партнершу рассказом о способности стрекозы у побережья Китая вызвать ураган в Карибском море, а математик из «Парка юрского периода», предсказывая катастрофу, ссылается на китайскую бабочку, послужившую причиной бури над Нью-Йорком.

Этот новый научный миф представляет особый интерес, поскольку легко проследить, как он родился и развивался. Первый сюрприз: метафора, ставшая знаменитой, принадлежит вовсе не самому Лоренцу — он утверждает, что пользовался образом чайки, а вовсе не бабочки. Бабочку же придумал Филип Мерилиз, организатор конференции, в которой принимал участие Лоренц. Что до успеха метафоры, то его, по всей видимости, принес бестселлер американского журналиста Джеймса Глейка «Теория хаоса», где первая глава называлась «Эффект бабочки». После чего миф о бабочке уже полетел на собственных крыльях, производя фурор в научно-популярной литературе. В ней можно найти великое разнообразие бабочек, а также мотыльков, стрекоз и всевозможных чешуйчато- и жесткокрылых, машущих своими крылами в самых экзотических местах. В отличие от Африки (обойденной стороной, вероятно, из-за того, что там хаос — не просто метафора) леса поймы Амазонки и Дальнего Востока упоминаются наиболее часто, а за ними неизвестно почему следуют Сиднейский залив и Китайская стена. Встречается даже парижская бабочка, изменившая климат Парижа, — случай совершенно нетипичный, так как обычная схема предполагает, что экзотическая бабочка, резвящаяся среди антиподов, вызывает климатическую катастрофу в каком-нибудь как нельзя более привычном для нас месте.

Но даже если исключить эту франко-французскую бабочку, можно заметить, что идеальная схема в точности соблюдается только у американских авторов. Изучение полусотни «эффектов бабочки», перехваченных в полете французской или англосаксонской научной литературой, показывает, что все американцы упоминают Соединенные Штаты, и только один из шести французов упоминает Францию. Так что «эффект бабочки» воспринимается как преимущественно американское явление; то же, впрочем, можно сказать и о теории хаоса, разработка основных приложений которой (главным образом в биологии и социальных науках) стала частью университетской жизни Америки.

Этим подчеркивается, разумеется, нарастающая американизация науки и демонстрируется мифологический прием «похищения истории», если пользоваться выражением Ролана Барта. Объект может стать мифическим, только если он нов, свободен от исторически обусловленной нагрузки: как хаос, так и «эффект бабочки» должны были непременно обрести невинность, забыв о своем давнем происхождении. Пуанкаре, Колмогорова и всех прочих нельзя включать в историю хаоса. Откуда взяться столь древним предшественникам у «новой науки» Джеймса Глейка?! Вот почему, тщательно стерев из памяти все европейские и русские работы по хаосу, американские ученые и журналисты занялись выведением бабочки, творящей катастрофы исключительно в Америке.

Но, лишившись предшественников в мире науки, «эффект бабочки» оказался окружен предками из мира литературы — в маленьком тексте Артура Шницлера «Тройное предупреждение», в романе Джорджа Стюарта «Буря», где один метеоролог утверждает, что человек, чихнувший в Китае, может вызвать снегопад в Нью-Йорке, и в рассказе Рэя Брэдбери «И грянул гром», появившемся в 1948 году. Там повествуется о необычном сафари: охоте на тираннозавра, организованной в 2055 году некоей фирмой, пользующейся машиной времени. Чтобы не вносить возмущений в прошлое, чреватых непредсказуемыми последствиями в будущем, охотники обязаны все время оставаться на металлических мостках… но герой рассказа Эккельс падает и делает несколько шагов по грязи. Вернувшись в 2055 год, он обнаруживает, что его страной правит отвратительный диктатор. Снедаемый тревогой, Эккельс осматривает свои подметки:

…Там была восхитительная бабочка — окаймленная грязью, украшенная зелеными и черными згзагами, но, увы и увы, мертвая.

— О нет, только не это, — вскричал Эккельс. — Только не бабочка!

Присмотревшись повнимательнее, можно ясно увидеть еще один важный этап рождения мифа: удаление исходного смысла.

В самом деле, выделяются два основных типа «эффектов бабочки». В первом, покорно следуя первоначальной метафоре Лоренца-Мерилиза, действие, произведенное в Бразилии, вызывает катастрофу в Соединенных Штатах. Во втором, сохраняя верность Джеймсу Глейку, движение крыла в Китае отзывается в тех же Соединенных Штатах. Вместо того, чтобы приспосабливать метафору для достижения собственных целей, авторы предпочитают использовать готовую версию made in USA, жертвуя уместностью ради того, что они считают научной обоснованностью, и забывая о педагогической ценности примера, исходной целью которого было дать простую и забавную иллюстрацию, поясняющую сложную концепцию. Тот же механизм просматривается в распространении идеи хаоса. За отправную точку неизменно берется один из двух основных его типов, откуда совершается переход к самым шатким оценкам, особенно в социальных науках: это физический хаос, хотя соотношение между физическими и социальными системами совсем не ясно, и еще менее надежное представление, развитое биологами на основании наблюдений за нашими сердечными ритмами или нейронами в обонятельной луковице зайца. И здесь тоже неизбежна прямая аналогия между индивидуумом и нейроном или обществом и Солнечной системой без малейшей попытки внести уточнения, чтобы смячить столь прямолинейный перенос понятий.

На что же употребляют свой критический ум наши исследователи? Вовсе не на анализ понятия «хаос» и его приложений, а на критику «эффекта бабочки»! По правде сказать, математики и физики не прикасаются к бабочке без перчаток. Сам Лоренц в своем выступлении 1972 года уочнял, что если бы бабочка могла взмахом крыльев вызвать смерч, которого иначе не случилось бы, то она точно так же смогла бы остановить начинающийся смерч[45]. А один французский исследователь не так давно решился на прямую конфронтацию: «…Привлекательный образ бабочки, машущей крыльями на одной стороне панеты, вызывая смерч на другой, неточен, так как существует диссипация ошибки очень малых масштабов». Если верно замечание, что бабочек, летающих обычно в спокойном воздухе, с меньшим основанием, чем чаек, можно заподозрить в том, что импульс от удара крыльями будет экспоненциально усиливаться, пока не вызовет циклон, то придется согласиться и с тем, что невинная метафора в конце концов заменила теорию, которую должна была всего лишь проиллюстрировать. Причем заменила до такой степени, что критика, которую следовало бы направить против самой теории, оказалась направленной исключительно против ее иллюстрации. Не остается сомнений: мы имеем дело с новым мифом, вылупившимся из своего кокона.


Примечания:

4

Но о котором теперь помнит каждый. Архимед преодолел века, ничуть не утратив своей славы. В XVII веке, напоминает Мишель Отье, Паскаль выводит лишь двух персонажей в своих размышлениях о чинах — Иисуса Христа и Архимеда. В своем позитивистском календаре Огюст Конт дает имя Архимеда четвертому месяцу, посвященному культу античной науки. Архимед оказывается единственным ученым среди таких известных имен, как Моисей, Гомер или Цезарь. (Здесь и далее, за исключением особо оговоренных случаев, примечания автора.)

45

Иногда можно заметить даже, так сказать, «негативный эффект бабочки», поскольку нередко обнаруживаются, главным образом в Англии, колонии «заблудившихся» бабочек-монархов (Danaus plexippus), распространенных в Мексике.

Оглавление

Эффект Бабочки

Предыдущая главаСледующая глава

В 1963 Эдвард Лоренц (1917—2008), который интересовался проблемой конвекции в земной атмосфере, смог значительно упростить гидродинамические уравнения Навье-Стокса, знаменитые своей колоссальной сложностью. Атмосферную модель Лоренца физики называют игрушечной, так как она, возможно, имеет очень слабую связь с реальными процессами в атмосфере. Тем не менее, она очень интересна с математической точки зрения. В этой модели всего три параметра x, y и z, так что каждая точка пространства (x, y, z) символизирует состояние атмосферы.

Эволюция состояния виртуальной атмосферы Лоренца заключается в следовании траекториям векторного поля.

Не будем забывать, что цель этой игрушечной модели — понять главные черты весьма сложного поведения.

Два очень близких состояния атмосферы скоро начинают двигаться совершенно по-разному: через некоторое время они обозначают очень далёкие состояния. Лоренц открыл эту чувствительность к начальным условиям в своей модели.

Но интереснее всего, что траектории, начинающиеся с большого количества различных начальных условий, все через некоторое время накапливаются на одном объекте в форме бабочки, известном как аттрактор Лоренца. Странный аттрактор!

Понимание аттрактора Лоренца — сложная задача. На что именно он похож? Как ведёт себя его внутренняя динамика? Пытаясь ответить на эти вопросы, в 1970-х годах Бирман, Гукенхеймер и Уильямс предложили простую модель, которую можно сконструировать из полосок бумаги: с помощью этой модели мы можем посмотреть на динамику в дискретном времени.

И лишь в 2001 математик Уорвик Такер показал, что бумажная модель хорошо описывает движение Лоренца: для каждой траектории в аттракторе Лоренца существует траектория, проходящая по полоскам бумаги, которая ведёт себя таким же образом. Конечно, эта модель устроена значительно проще, чем настоящие природные явления, но это показывает, что математики любят простые вещи!

Предыдущая главаСледующая глава

Добавить комментарий

Закрыть меню