Применение производной в химии и биологии

Содержание

Применение производной в химии и биологии

Скачать

Название Применение производной в химии и биологии
Дата 16.08.2013
Размер 237.5 Kb.
Тип Презентации

Применение производной в химии и биологии

Введение

  • Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной.

    В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции.

Биологический смысл производной

  • Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов уи временем t её размножения задана уравнением: у = x(t). Пусть ∆t — промежуток времени от некоторого начального значения t до t+∆t. Тогда у + ∆у = x(t+∆t)— новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+∆t, а ∆y + x(t + ∆t )- x(t) — изменение числа особей организмов.

    Отношение является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции. Вычисляя , получаем y ‘ = P(t) = x ‘ (t), или производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t.

Что же такое популяция?

  • Популяция– это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Пример

  • Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t) особей. . Найти скорость роста популяции: а) в произвольный момент t, б) в момент t = 1 c.

  • Решение:

  • P = x’(t) = 200t;

  • P(1) = 200 (с).

  • Ответ: 200 с.

Химический смысл производной

  • Пусть дана функция p=p(t),где p-количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t. Приращению времени ∆t будет соответствовать приращение ∆p величины p. Отношение ∆p/∆t- есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆t. Предел этого отношения при стремлении t∆ к нулю — есть скорость химической реакции в данный момент времени .

  • v(t) = p’(t)

  • Скорость химической реакции – один из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. В реальной жизни для решения производственных задач, в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций химических веществ.

Пример

  • Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

  • Решение:

  • v (t) = p ‘(t); v (t) = t + 3; v (3) = 3+3 = 6.

  • Ответ: 6 моль\с.


Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:

rpp.nashaucheba.ru

rpp.nashaucheba.ru

Южно-Сахалинский Государственный Университет

Кафедра математики

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

Тема: Практическое применение производной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Автор: Меркулов М. Ю.

Курс: 3

Преподаватель: Лихачева О. Н.

Оценка:

Южно-Сахалинск

2002гВведение

 

В данной работе я рассмотрю применения производной в различных науках и отраслях. Работа разбита на главы, в каждой из которых рассматривается одна из сторон дифференциального исчисления (геометрический, физический смысл и т. д.)

 

1. Понятие производной

 

1-1. Исторические сведения

 

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 — 1557 гг.) — здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

 

1-2. Понятие производной

 

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х0 — произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит приращение ∆y = f(x + ∆x) — f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).

y(x)=

 

1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

 

C = 0(xn) = nxn-1(sin x) = cos xx = 1(1 / x) = -1 / x2(cos x) = -sin x(Cu)=Cu(√x) = 1 / 2√x(tg x) = 1 / cos2 x(uv) = uv + uv(ax) = ax ln x(ctg x) = 1 / sin2 x(u / v)=(uv — uv) / v2(ex) = ex(arcsin x) = 1 / √ (1- x2)(logax) = (logae) / x(arccos x) = -1 / √ (1- x2)(ln x) = 1 / x(arctg x) = 1 / √ (1+ x2)(arcctg x) = -1 / √ (1+ x2)

 

2. Геометрический смысл производной

 

2-1. Касательная к кривой

 

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M.

 

Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ∆x, его значению соответствует значение функции y0 + ∆y = f(x0 + ∆x). Соответствующая точка — N(x0 + ∆x, y0 + ∆y). Проведем секущую MN и обозначим φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox.

Из рисунка видно, что ∆y / ∆x = tg φ. Если теперь ∆x будет приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN — поворачиваться вокруг точки M, а угол φ — меняться. Если при ∆x → 0 угол φ стремится к некоторому α, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол α, будет искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент:

То есть, значение производной f (x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).

 

Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны частным производным f по x и y.

 

2-2. Касательная плоскость к поверхности

 

Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходящим через M — точку касания.

Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями

x = φ(t); y = ψ(t); z = χ(t).

Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по t:

Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид:

Т. к. разности x — x0, y — y0, z — z0 пропорциональны соответствующим дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:

Fx(x — x0) + Fy(y — y0) + Fz(z — z0)=0

и для частного случая z = f(x, y):

Z — z0 = Fx(x — x0) + Fy(y — y0)

Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a) гиперболического параболоида

Решение:

Zx = x / a = 2; Zy = -y / a = -1

Уравнение искомой плоскости:

Z — 1.5a = 2(x — 2a) — (Y — a) или Z = 2x — y — 1.5a

 

3. Использование производной в физике

 

3-1. Скорость материальной точки

 

Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t0 -некоторый момент времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ∆t = t — t0 и вычислим приращение пути: ∆s = f(t0 + ∆t) — f(t0). Отношение ∆s / ∆t называют средней скоростью движения за время ∆t, протекшее от исходного момент�

s

Автор: Сергей Смирнов
Дата:    20.11.2014

 

Что такое производная?

Таблица производных.

 

Производная — одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

Это знакомство позволит:

— понимать суть несложных заданий с производной;

— успешно решать эти самые несложные задания;

— подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

 

Сначала — приятный сюрприз.)

Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует.

Приступим к знакомству?)

 

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование — действие над функцией.

Производная — результат этого действия.

Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y’ или f'(x) или S'(t) и так далее.

Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…)

Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)’, (x3)’, (sinx)’ и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

 

Предположим, что понимать задания мы научились.

Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

2. Правила дифференцирования.

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

 

Таблица производных.

В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

Дифференцирование функций "с нуля", т.е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная.

 

 

Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции — одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице — вроде и нету…

Рассмотрим несколько примеров:

1. Найти производную функции y = x3

Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

(x3)‘ = 3·x3-1 = 3x2

Вот и все дела.

Ответ: y’ = 3x2

 

2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню — это уже новая функция.

По табличке находим синус и соответствующую производную:

y’ = (sin x)’ = cosx

Подставляем ноль в производную:

y'(0) = cos 0 = 1

Это и будет ответ.

 

3. Продифференцировать функцию:

Что, внушает? ) Такой функции в таблице производных и близко нет.

Напомню, что продифференцировать функцию — это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает…

Но если увидеть, что наша функция — это косинус двойного угла, то всё сразу налаживается!

Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx. А это — табличная функция. Сразу получаем:

Ответ: y’ = — sin x.

 

Пример для продвинутых выпускников и студентов:

4. Найти производную функции:

Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

А икс в степени одна десятая — это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

Вот и всё. Это будет ответ.

 

Надеюсь, что с первым китом дифференцирования — таблицей производных — всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.

 

Следующая страница: Как найти производную? Правила дифференцирования.  >>>>

 

В высшей математике и матанализе все примеры — скучные. «Эй, ребятки! Вы когда-нибудь вообще интересовались расстоянием, скоростью и ускорением движущейся частицы? Нет?

Ну, этим мы будем заниматься весь урок!«

Я люблю физику, но это не самый лучший способ разобраться. Мы обречены ждать того момента, когда начнутся лабораторные занятия, или хуже того, это превращает матанализ в «математику для лабораторных занятий». Нельзя ли объяснить это на вещах попонятнее, и желательно применить к реальной жизни?

Думаю, вполне можно. Итак, вот наша цель:

  • использовать деньги, а не физику, чтобы разобраться с принципами матанализа,
  • посмотреть, как соотносятся разные понятия: банковский счёт и зарплата, затем зарплата и надбавка,
  • посмотрим, что ещё можно из этого выжать — можно ли исследовать глубже.

Надейвайте ваши матановые шлемы — время погружаться.

Деньги, денежки, деньжищи

Мой любимый пример из матанализа — это отношение накопительного банковского счёта, зарплаты и надбавки к зарплате.

Знакомьтесь, это Джо («Привет, Джо!«). Вы, пронырливый мерзавец, проникаете в компьютер Джо и отслеживаете движение по его банковскому счёту каждую неделю. Что полезного вы можете из этого выудить?

Оп-па!

Вообще-то, нечего тут ловить — Джо ничего не получает. А что, если вы теперь видите такую картинку?

Тут всё просто: Джо, похоже, зашибает деньгу. Но сколько? Быстренько посчитав в уме разницу, мы можем определить, сколько ему платят в неделю. Ясно, что Джо получает 100 монет каждую неделю.

  • Ключевая мысль: если я знаю, как быстро растёт твой счёт в банке, я знаю твою зарплату.

Сумма на счету в банке зависит от зарплаты — эта сумма изменяется из-за еженедельных выплат.

Кому надбавки?

Идём дальше: что ещё мы можем разведать, имея данные о зарплате? Вообще-то, зарплата тоже поддаётся анализу — мы можем проследить, изменяется ли она! Стало быть, мы можем определить, меняется ли зарплата Джо от недели к недели (получает ли он надбавку?).

План таков:

  • взять понедельную разбивку банковского счёта Джо,
  • посчитать разницу по счёту и получить данные по его зарплате,
  • посчитать разницу по зарплате и получить данные по надбавке (если таковая имеется).

В первом примере (100 монет в неделю) очевидно, что никакой надбавкой там и не пахнет (прости, Джо). Основная идея в том, чтобы «найти разницу» и проанализировать первое соотношение (счёта и зарплаты), и потом «найти разницу ещё раз», чтобы проанализировать второе соотношение (зарплаты к надбавке).

Отматываем назад

Мы сейчас двигались в одном направлении — от банковского счёта к зарплате. А работает ли это в другую сторону — если я знаю зарплату, могу ли я предсказать, сколько осядет на счету в банке?

Я вижу, вы медлите с ответом. Да, знать, что Джо получает 100 монет в неделю — неимоверно здорово. Однако… не нужно ли нам учесть то, сколько было на счету изначально?

Чертовски верно!

Просто цифры прироста по счёту или зарплате явно недостаточно — с какой отметки начинать-то? Для упрощения (например, в домашней работе) часто допускают, что Джо начал с нуля. Но раз уж вы делаете предположение, вам наверняка хотелось бы знать изначальные условия (то самое преславутое «+ С» в формуле первообразной).

Пример посложнее

Допустим, накопительный счёт Джо растёт вот так: 100, 300, 600, 1000, 1500…

Так, что мы тут видим? Случайный набор цифр? Давайте высчитаем разницу по неделям, и получим такую картину:

Любопытненько — зарплата Джо возрастает каждую неделю! Давайте ещё раз найдём разницу по неделям и посмотрим, что получится:

И вуаля — оказывается, Джо получает регулярное повышение зарплаты на 100 монет в неделю. Не будем останавливаться на достигнутом — давайте нанесём это всё на единую шкалу:

Тут можно рассуждать так: Джо получает повышение зарплаты каждую неделю, из-за этого растёт зарплата, из-за чего увеличивается счёт в банке. Пока надбавка растёт, растёт и зарплата, что также сильно влияет на накопительный счёт. Можно представить себе, что надбавка «раздувает» зарплату, а из-за раздувающейся зарплаты, в свою очередь, «набухает» и банковский счёт.

Ну и… где тут матанализ?

Как выглядит формула для нахождения состояния счёта в банке нашего Джо для любой заданной недели? Ну, это сумма всех его зарплат до этого дня:

100 + 200 + 300 + 400… = 100 × n × (n + 1)/2

Формула суммы последовательности чисел (1 + 2 + 3 + 4…) близка к n2/2, и приближается к ней по мере роста числа слагаемых.

Итак, вот наши первые результаты по математическому анализу:

  • постоянная надбавка (100 монет/неделю) приводит к тому что, …
  • …линейно растёт зарплата (100, 200, 300, 400), что ведёт к…
  • …квадратичному (что-либо × n2) возрастанию счёта в банке  (100, 300, 600, 1000… ну вы видели кривую!)

А почему там приблизительно ½ × n2, а не просто n2? Дам подсказку: линейное возрастание зарплаты (100, 200, 300) даёт нам треугольник.

Площадь этого треугольника представляет собой сумму всех выплат, а площадь прямоугольного треугольника равняется   ½ × основание× высота. Основание равняется n — числу недель, а высота (прибыль) есть 100 × n.

Такие геометрические манипуляции становятся сущим адом при работе с более сложными задачами — тот факт, что мы можем посчитать 2 × 100 с хвостиком, не означает, что это лучший путь. Матанализ предоставляет нам более мощный инструментарий (производные и интегралы).

Разбираемся с деталями

Наше понимание  общей картины с банковским счётом, зарплатой и надбавкой позволяет нам заглянуть глубже.

А можно подсчитать общий доход от 1 недели до 10?

Конечно! Есть два варианта: можно поочерёдно сложить доход за каждую неделю (зарплата за первую неделю + зарплата за вторую неделю + …), либо же посчитать разницу на счету: сумма по счёту на 10 неделе минус сумма по счёту на первой неделе. У этого метода есть крутое название: Фундаментальная Теорема Матанализа!

Можно ли пойти дальше и найти производную для надбавки?

Ну почему нет? Допустим, надбавка составляет 100 монет/неделю; если мы возьмём производную, то увидим, что она упала до 0 (ведь нет «надбавки для надбавки», она остаётся на неизменном уровне). Однако же, мы вполне можем представить себе ситуацию, когда надбавка тоже возрастает (надбавка первой недели = 100, надбавка второй недели = 200, и т.д.). Пользуясь нашими идеями: если «надбавка надбавки» постоянная, сама надбавка будет расти линейно (что-то × n), зарплата изменяется квадратично (что-то × n2), а счёт в банке растёт кубически (что-то × n3). Ну и в общем-то всё сходится!

Могут ли производные находиться бесконечно?

Ага. Кто знает, может наша последовательность выглядит так: банковский счёт → зарплата → надбавка → инфляция → надой коровы фермера Джо → качество кормёжки коровы фермера Джо.

Многие схемы «перестают давать производные», как только мы добираемся до корня проблемы. Но некоторые интересные ситуации, вроде экпоненциального роста, имеют бесконечное число производных! Вы получаете доход, который приносит доход, который приносит доход, … бесконечно! В таком случае, вы никогда не докапаетесь до исходной причины роста вашего банковского счёта, потому что на него влияет бесконечно число факторов (всё довольно хитро).

А что будет, если производная стала отрицательной?

Хороший вопрос. Если надбавка станет отрицательной, зарплата начнёт уменьшаться. Однако, до тех пор, пока зарплата выше нуля, счёт в банке будет расти! Посудите сами: 100 монет зарплаты вместо 200, конечно, вас не сильно обрадуют, но всё ещё увеличивают ваши накопления в банке. В конце концов, отрицательная надбавка (в таком случае, штраф) пересилит зарплату, и та станет отрицательной, что означает, что теперь Джо платит своему начальнику. Но до тех пор счёт в банке будет увеличиваться.

Как быстро можно находиться производные?

Представьте, что мы анализируем портфель акций, а не банковский счёт. В таком случае, нам понадобилось бы строить нашу модель с зарплатой и счётом на посекундных данных. Идея в том, чтобы использовать настолько короткие интервалы, насколько нам нужно — достаточно серьёзную часть матанализа занимает раздел, который позволяет сказать, «вот такой предел — достаточно точный для меня«.

Формулы математического анализа, которые вам обычно попадаются (интеграл от x = 1/2  × x2) отличаются от «дискретных» (сумма от 1 до n = 1/2 × n × (n+1)), потому что в случае дискретных подсчётов используются «кусочные» интервалы.

Что мы имеем в итоге

Зачем мы заморачивались с такой аналогией? Затем, что привычные «расстояние, скорость, ускорение» не приводят к правильным вопросам. Вот какая следующая производная от ускорения?.. (Она называется «толчок» и довольно редко используется). Такой узколобый пример похож на то, как если бы дети думали, что умножение нужно исключительно для нахождения площади, и вообще работает только для двух чисел за раз.

Вот ключевые моменты:

  • математический анализ помогает нам находить взаимосвязи (банковский счёт с зарплатой и затем с надбавкой),
  • производная «стремится вниз» (можно посчитать разницу неделю за неделей и отыскать значение зарплаты),
  • интеграл «стремится вверх» (складываем зарплаты — получаем банковский счёт),
  • мы можем найти формулу для нужной задачи (имея данные по счёту, предсказать зарплату) или найти нужное значение (какова моя зарплата на третью неделю?),
  • матанализ полезен и помимо супер-сложных научных вопросов. Если у вас есть данные или формула (уровень производительности, размер населения, ВВП страны) и вы хотите исследовать их поведение, математический анализ — ваш инструмент,
  • матанализ по учебнику предполагает запоминание правил дифференцирования и интегрирования. Запомни основы (xn, e, ln, sin, cos) и остальное предоставь компьютерам. Наш мозг лучше приспособлен к тому, чтобы переводить наши мысли на язык математики.

В мире моей мечты производная и интеграл станут обыденными вещами. Ведь они являются тем, что можно делать с формулами — так же, как вычитание и сложение являются тем, что можно делать с числами.

«Ребятушки, мы находим общую массу с помощью суммы (масса1 + масса2 = масса3). А чтобы найти, как изменится наше местоположение, мы используем производную.»

«Ну да, сложение позволяет совмещать вещи. И да, надо найти производную, чтобы узнать, как меняется положение. Как бы ты считал это по-другому?»

Всегда приятно помечтать. Приятных вычислений!

Перевод статьи «Understanding Calculus With A Bank Account Metaphor».


.

Добавить комментарий

Закрыть меню