Как найти пи

В 1671 году Джеймс Грегори установил, что:

Этот результат позволил Лейбницу получить очень простое выражение для PI, а именно:

или, после умножения на 4:

Просуммируйте этот ряд и Вы получите число PI.

Однако, как говорил Козьма Прутков, ‘нельзя объять необъятное’, что, в применении к данному случаю, можно перефразировать так: нельзя просуммировать бесконечное число слагаемых за конечное время, каким бы быстрым компьютером мы не располагали.

Слава Богу, этого и не требуется. Поскольку мы хотим найти не точное значение PI, а лишь его приближение с пятью верными десятичными знаками, нам достаточно просуммировать такое количество первых членов ряда, чтобы сумма всех оставшихся членов не превышала 10-5.

Остался, правда, открытым вопрос о том, сколько же все-таки членов ряда нужно просуммировать, чтобы получить результат с требуемой точностью?

Ответ на этот вопрос в ‘общем виде’ выходит далеко за рамки настоящего обсуждения. Это отдельная тема в курсах математического анализа и численных методов.

К счастью, данный конкретный ряд позволяет найти очень простое правило, позволяющее определить момент, когда следует прекратить суммирование. Дело в том, что ряд Грегори является знакопеременным и сходится равномерно (хотя и медленнее, чем хотелось бы). Это означает, что для любого нечетного n, сумма первых n членов ряда всегда дает верхнюю оценку для PI, а сумма n+1 первых членов ряда — нижнюю.

Значит, как только разница между верхней и нижней оценками окажется меньше, чем требуемая точность, можно смело прекращать вычисления и быть уверенным, что как та, так и другая оценки отличаются от истинного значения PI не более, чем на 10-5. В качестве окончательного результата разумно взять среднее значение между полученными верхней и нижней оценками. Таким образом, можно предложить алгоритм, приведенный ниже.

Положить n=0, S1 = 0 и S2 = 0; ( начальные установки ) Увеличить n на 1; ( n становится нечетным ) Вычислить S1 = S2 + 4/(2n-1); (S1 — есть верхняя оценка ) Увеличить n на 1; ( n становится четным ) Вычислить S2 = S1 — 4/(2n-1); (S2 — есть нижняя оценка) Если S1 — S2 >= 10^(-5) перейти к шагу 2; ( нужная точность еще не достигнута ) Напечатать результат (S1 + S2) / 2

При реализации этого алгоритма на машине следует помнить, что ряд Грегори сходится достаточно медленно, и поэтому n может принимать довольно большие значения.

Что такое число пи

Определение числа пи

Определение

Число (пи) — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру.

Число является иррациональным числом, то есть не может быть выражено рациональной дробью , а является бесконечной непериодической десятичной дробью . В обиходе вполне достаточно знать три цифры числа ; но для более точных расчетов этого не достаточно. Для упрощения запоминания числа было придумано двустишие по правилам старой русской орфографии, которое позволяло легко запомнить одиннадцать его знаков:

Кто и шутя, и скоро пожелаетъ
«Пи» узнать число — ужъ знаетъ.

Для определения числа по нему, необходимо, сосчитать количество букв в каждом слове и написать эти цифры подряд (первую цифру отделить запятой).

В обычных условиях приближенное значение можно получить следующим образом:

  1. Взять круг, обмотать по краю круга нитью один раз.
  2. Измерить длину нити.
  3. Измерить диаметр круга.
  4. Разделить длину нити на длину диаметра. Получили число .

Например. Возьмем круг с диаметром см, замеряем ниткой длину окружности, получаем см. Находим отношения длины окружности к диаметру, тогда .

В каких формулах используется число

Площадь круга радиуса

Длина окружности радиуса

Площадь сектора с угловой величиной дуги

Объем цилиндра:

Площадь боковой и полной поверхности цилиндра:

   и   

Объем конуса:

Площадь боковой поверхности конуса:

Площадь сферы:

Объем шара:

Пример

Задание. Вычислить объем и полную площадь поверхности цилиндра, если радиус основания цилиндра см, а высота цилиндра см .

Решение. Объем цилиндра найдем по формуле

полагая и подставляя заданные значения, получим

(см3)

Для нахождения полной площади поверхности цилиндра воспользуемся формулой

подставляя заданные значения, имеем

(см2)

Ответ. (см3)

             (см2)

Все формулы объемаРасчет объема цилиндра онлайн

Читать дальше: что такое действительное число.

Устин Чащихин

(образование: Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова, химический факультет)

ПРИМЕЧАНИЕ. Некоторые браузеры не могут отображать греческие буквы (шрифт Symbol) и некоторые иные математические символы и показывают пи () в виде p. Поэтому для удобства пользователей всех браузеров здесь число пи (\pi в LaTeX) обозначается как pi, а знак «приближенно равно» (\approx в LaTeX) как ~= .

Приближенное значение числа pi (пи) вычислил еще великий древнегреческий ученый Архимед (287 — 212 гг. до н. э.) в своей работе «Об измерении круга». Однако П.Бухмиллер в 2011 году заявил, что площадь круга якобы равна полусумме площадей вписанного и описанного квадратов, т.е. якобы равна 3r2, а не pi r2. ( http://redstar-43.ru )

Вывод числа пи.

Опытные данные: pi ~= 3,14

Опровергнуть заявление Бухмиллера на опыте элементарно просто. Берете любой цилидрический предмет, например коробку для чистых компакт-дисков, измеряете ее диаметр — около 12,5 см. А затем ниткой или гибкой линейкой измеряете длину ее окружности. Она равна около 39,3 см. Значит, отношение длины окружности к диаметру (определение числа pi) равно:

pi = L / d ~= 39,3 см / 12,5 см ~= 3,14

а не 3. Проведите такой простой опыт самостоятельно. Ведь опыт подтверждает математическую истину, открытую еще Архимедом и опровергает заблуждение Бухмиллера.

Строгий математический вывод числа пи pi ~= 3,1415926536

Но математика — наука точная, поэтому ниже представлено, как именно великий Архимед вывел число pi.

Этот текст написан для школьников, интересующихся математикой, лично для Бухмиллера, а также для тех, кто поверил Бухмиллеру.

Итак, Бухмиллер в XXI веке построил вокруг круга описанный и вписанный квадраты и заявил, что, если площадь описанного квадрата равна 4r2, а площадь вписаного квадрата равна 2r2, то, мол, площадь круга равна 3r2. Причем, Бухмиллер даже не попытался доказать это заявление о полусумме.

Архимед же в III веке ДО нашей эры считал умнее. Он построил вокруг круга не только квадраты, но и вписанные и описанные правильные 6-угольники, 8-угольники и так далее вплоть до 96-угольников. И считал их площади. Архимед понимал, что площадь круга S меньше площади описанного правильного многоугольника SO, но больше площади вписанного правильного многоугольника SB:

SB < S < SO

Так Архимед вывел число pi ~= 22/7 ~= 3,14.

Для решения задачи в общем случае рассчитаем площади правильных n-угольников — вписанного в окружность и описанного вокруг нее.

Разделим правильный описанный n-угольник на n равносторонних треугольников и n/2 прямоугольных треугольников с углом a у центра круга (см. рисунок). И вычислим их площади, понимая, что они равны сумме площадей соответствующих треугольников, на которые они разбиты. Очевидно, что:

угол a = 360o/2n

Площадь треугольника равна bh/2, где b — основание, h — высота. В данном случае для треугольника из описанного многоугольника h = r и b/2 = r tg a и его площадь равна r2 tg a. А для вписанного — h = r cos a и b/2 = r sin a и его площадь равна r2 sin a cos a. Площадь многоугольника в n раз больше площади треугольника. Тогда площадь правильного описанного n-угольника равна:

SO = nr2 tg a = nr2 tg (360o/2n)

А площадь правильного вписанного n-угольника равна:

SВ = nr2 sin a cos a

В школьном курсе тригонометрии выводится формула:

sin2a = 2 sin a cos a

Поэтому предыдущее выражение примет вид:

SВ = 0,5 nr2 sin2a = 0,5 nr2 sin (360o/n)

А теперь, используя научный калькулятор, подставим n= 100, т.е. площади правильных описанного и вписанного 100-угольников равны:

SO = nr2 tg (360o/2n) = 100 r2 tg (360o/200) = 100 r2 tg 1,8o ~= 3,1426 r2

SВ = 0,5 nr2 sin (360o/n) = 50 r2 sin (360o/100) = 50 r2 sin 3,6o ~= 3,1395 r2

Следовательно, площадь круга находится в следующих пределах:

3,1395

r2 < S < 3,1426 r2

и приближенно равна 3,14 r2, а число pi ~= 3,14. Что и требовалось доказать.

А теперь вычислим более точные значения числа pi. Подставим n= 1000:

SO = 1000 r2 tg (360o/2000) = 1000 r2 tg 0,18o ~= 3,141603 r2

SВ = 500 r2 sin (360o/1000) = 500 r2 sin 0,36o ~= 3,141572 r2

Следовательно, площадь круга находится в следующих пределах:

3,141572

r2 < S < 3,141603 r2

А теперь, подставим n = 1000 000 = 106 для площадей миллион-угольников:

SO = 106 r2 tg 0,00018o ~= 3,1415926536 r2

SВ = 5*105 r2 sin 0,00036 o ~= 3,14159265357 r2

Следовательно, площадь круга находится в следующих пределах:

3,14159265357

r2 < S < 3,1415926536 r2

А pi ~= 3,1415926536. Что и требовалось доказать. Как видите, ни о какой полусумме квадратов и речи не идет. И Архимед это понимал.

В качестве домашнего задания вычислите число pi более точно по площадям миллиард-угольников.

.

скачать

Реферат на тему:

Пи-исчисление

План:

    Введение

  • 1Неформальное определение
    • 1.1Конструкции процесса
    • 1.2Небольшой пример
  • 2Формальное определение

Введение

В теоретической информатике, π-исчисление — исчисление процессов, изначально разработанное Робином Милнером, Иоахимом Пэрроу и Дэвидом Вокером как продолжение работы над исчислением общающихся систем. Целью π-исчисления является возможность описать конкурентные вычисления, конфигурация которых может меняться на протяжении вычисления.

1. Неформальное определение

π-исчисление принадлежит к семейству процессов исчисления, математические формализмы для описания и анализа свойств конкурентных вычислений. Фактически π-исчисление, как λ-исчисление настолько минимально, что не содержит примитивов, таких как номера, булевы выражения, структуры данных, переменные, функции или операторы управления потоком (например? if-then-else, while).

1.1. Конструкции процесса

Центральным для π-исчисления является понятие имени. Простота исчисления заключается в двойной роли имён, которые выступают как каналы связи и как переменные. В исчислении доступны следующие конструкции процесса (точные определения даны в следующих секциях):

  • конкуренция, обозначается , где P и Q — два процесса или потока выполняемых конкурентно.
  • связь, где
    • префикс ввода — процесс, ожидающий сообщение, отправленное по каналу связи c, перед тем как продолжаться как P, привязывающий полученное имя к имени x. Как правило, это модели или процесс ожидания связи из сети, или метка используемая однажды посредством операции .
    • префикс вывода описывает, что имя y передается через канал c, перед тем как продолжаться как P. Как правило, это модели или отправляющие сообщения через сеть, или операция .
  • репликация, обозначается , которая может быть рассмотрена как процесс, который может всегда создавать новую копию P. Как правило, эти модели или сетевой сервис, или метка ожидающая любое число операций.
  • создание нового имени , обозначается , которое может быть рассмотрено как процесс, размещающий новую константу x внутри P. Константы π-исчисления определяются только через своё имя и всегда являются каналами связи.
  • ноль процесс, обозначается 0, процесс выполнение которого завершено и остановлено.

Однако минимализм π-исчисления не позволяет писать программы в обычном смысле слова, но исчисление может легко расширяться. В частности, просто определить структуры управления (такие как рекурсия, циклы и секвенциальная композиция) и типы данных (такие как функции первого порядка, значения истинности, списки и целые числа). Кроме того, были предложены расширения π-исчисления, которые принимают во внимание распределение и криптографию с публичным ключом.

Применяется π-исчисление благодаря Абади и Фурнье внёсших эти различные дополнения на формальной основе, посредством расширения π-исчисления с произвольными типами данных.

1.2. Небольшой пример

Ниже расположен пример процесса, который состоит из трёх параллельных компонент. Канал x известен только из двух первых компонент.

Первые две компоненты способны связываться через канал x, при этом y связывается с z. Следующий шаг процесса следующий

Обратите внимание, что y не затрагивается, потому что это определено во внутреннем объёме. Теперь вторая и третья параллельные компоненты могут связаться через канал z, при этом v связывается x. Следующий шаг процесса

2. Формальное определение

Добавить комментарий

Закрыть меню