Метод монте карло

Введение

Метод Монте-Карло – это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Датой рождение метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «Метод Монте-Карло» (Н. Метрополис, С. Улам). Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В нашей стране первые статьи были опубликованы в 1955–56 гг. (В.В. Чавчанидзе, Ю.А. Шрейдер, В.С. Владимиров)

Однако теоретическая основа метода была известна давно. Кроме того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т.е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, так как моделировать случайные величины вручную – очень трудоёмкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом, а одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является рулетка.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. Далее его влияние распространилось на широкий круг задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. К разделам науки, где всё в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественность получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

В подавляющем большинстве задач, решаемых методами Монте-Карло, вычисляют математические ожидания некоторых случайных величин. Так как чаще всего математические ожидания представляют собой обычные интегралы, в том числе и кратные, то центральное положение в теории методов Монте-Карло занимают методы вычисления интегралов.

1.Теоретическая часть

1.1 Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин

Предположим, что нам необходимо вычислить площадь плоской фигуры

. Это может быть произвольная фигура, заданная графически или аналитически (связная или состоящая из нескольких частей). Пусть это будет фигура, заданная на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Предположим, что эта фигура расположена внутри единичного квадрата.

Выберем внутри квадрата

случайных точек. Обозначим через число точек, попавших внутрь фигуры . Геометрически видно, что площадь фигуры приближенно равна отношению . Причем, чем больше число , тем больше точность этой оценки.

Для того чтобы выбирать точки случайно, необходимо перейти к понятию случайная величина. Случайная величина

непрерывная, если она может принимать любое значение из некоторого интервала .

Непрерывная случайная величина

определяется заданием интервала , содержащего возможные значения этой величины, и функции , которая называется плотностью вероятностей случайной величины (плотностью распределения ). Физический смысл следующий: пусть — произвольный интервал, такой что , тогда вероятность того, что окажется в интервале , равна интегралу (1.1)

Множество значений

может быть любым интервалом (возможен случай ). Однако плотность должна удовлетворять двум условиям:

1) плотность

положительна:; (1.2)

2) интеграл от плотности

по всему интервалу равен 1: (1.3)

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число

(1.4)

Дисперсией непрерывной случайной величины называется число:

Нормальной случайной величиной называется случайная величина

, определённая на всей оси и имеющая плотность (1.5)

где

— числовые параметры

Любые вероятности вида

легко вычисляются с помощью таблицы, в которой приведены значения функции, называемой обычно интегралом вероятностей.

Согласно (1.1)

В интеграле сделаем замену переменной

, тогда получим,

где

Отсюда следует, что Также

Нормальные случайные величины очень часто встречаются при исследовании самых различных по своей природе вопросов.

Выбрав

, , найдём .

Следовательно, (1.6)

Вероятность

настолько близка к 1, что иногда последнюю формулу интерпретируют так: при одном испытании практически невозможно получить значение , отличающееся от больше чем на .

Проводя большое количество опытов, и получая большое количество случайных величин можно воспользоваться центральной предельной теоремой теории вероятностей. Эта теорема впервые была сформулирована П.

Лапласом. Обобщением этой теоремы занимались многие выдающиеся математики, в том числе П.Л. Чебышёв, А.А. Марков, А.М. Ляпунов. Её доказательство достаточно сложно.

Рассмотрим

одинаковых независимых случайных величин , так что распределения вероятностей этих величин совпадают. Следовательно, их математические ожидания и дисперсии также совпадают. Величины эти могут быть как непрерывными, так и дискретными.

Обозначим


Арзамасский государственный педагогический институт

имени А.П.Гайдара

Кафедра математического анализа

Зубанов М. А., студент

3 курса очного отделения

физико-математического

факультета

КУРСОВАЯ РАБОТА

Метод Монте-Карло и его применение

Научный руководитель:

канд. тех. наук, доцент

Потехин В.А.

Арзамас-2002 г.

Содержание

Введение ……………………………………………………………..3

Глава 1. Некоторые сведения теории вероятностей ………….5

§1. Математическое ожидание, дисперсия……………………..5

§2. Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный

интервал……………………………………………………….6

§3. Нормальное распределение…………………………………..6

Глава 2. Метод Монте-Карло ………………………………………8

§1. Общая схема метода Монте-Карло……………………….….8

§2. Оценка погрешности метода Монте-Карло…………………8

Глава 3. Вычисление интегралов методом Монте-Карло …….12

§1. Алгоритмы метода Монте-Карло для решения

интегральных уравнений второго рода………………….…12

§2. Способ усреднения подынтегральной функции………….…13

§3.

Способ существенной выборки, использующий

«вспомогательную плотность распределения»…………… .16

§4. Способ, основанный на истолковании интеграла как

площади……………………………………………………. ..19

§5. Способ «выделения главной части»……………………… …21

§6. Программа вычисления определенного интеграла методом

Монте-Карло…………………………………………………..23

§7. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло.…25

Заключение …………………………………………………………..28

Приложение ……………………………………………………….. ..29

Литература ……………………………………………………………30

Введение.

Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений.

Возникновение идеи использования случайных явлений в области приближённых вычислений принято относить к 1878 году, когда появилась работа Холла об определении числа p с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число p, и приближённо оценить эту вероятность. Отечественные работы по методу Монте-Карло появились в 1955-1956 годах. С того времени накопилась обширная библиография по методу Монте-Карло. Даже беглый просмотр названий работ позволяет сделать вывод о применимости метода Монте-Карло для решения прикладных задач из большого числа областей науки и техники.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их.

Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание.

Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

Глава 1. Некоторые сведения теории вероятностей

§1.

Математическое ожидание, дисперсия.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятность.

,

где Х – случайная величина,

— значения, вероятности которых соответственно равны .

Математическое ожидание приближённо равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

.

Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

.

§2. Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.

Пусть, найденная по данным выборки, статистическая характеристика

служит оценкой неизвестного параметра . Ясно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если d>0 и , то , чем меньше d, тем оценка точнее. Положительное число d характеризует точность оценки.

Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки

по называют вероятность g, с которой осуществляется неравенство .

Доверительным называют интервал

, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью g.

§3. Нормальное распределение.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной

случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией

.

а — математическое ожидание, s — среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

Глава 2. Метод Монте-Карло

§1. Общая схема метода Монте-Карло.

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое

и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a* искомого числа a:.

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а* .

§2. Оценка погрешности метода Монте-Карло.

Пусть для получения оценки a* математического ожидания а случайной величины Х было произведено n независимых испытаний (разыграно n возможных значений Х) и по ним была найдена выборочная средняя

, которая принята в качестве искомой оценки: . Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения Х, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка a* . Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы d допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надёжностью) g: .

Интересующая нас верхняя грань ошибки d есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Рассмотрим следующие три случая.

1. Случайная величина Х распределена нормально и её среднее

квадратичное отклонение d известно.

В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки

, (*)

где n число испытаний (разыгранных значений Х); t – значение аргумента функции Лапласа, при котором

, s — известное среднее квадратичное отклонение Х.


Однажды, во время своего обучения в институте, я «изобрел» метод Монте-Карло. Задача, которая подтолкнула меня на это, возникла в моей дипломной работе. Необходимо было оценить размер области сходимости алгоритма определения квазистационарной спутниковой орбиты по наземным измерениям.

Определение орбиты по измерениям предполагает нахождение оценок векторов координат и скоростей объекта, исходя из некоторого их «нулевого» приближения и измерений (например, измерений дальности до объекта с Земли). В зависимости от того, насколько удачным было выбрано начальное приближение, зависело будет получена адекватная оценка параметров движения объекта или нет — иными словами — сойдется алгоритм оценивания или нет.

Множество таких точек, вокруг неизвестного набора точных параметров, для которых алгоритм сходился достаточно близко к точному решению, представляет особый интерес — это область сходимости алгоритма.

Эта область располагалась в шестимерном пространстве — пространстве трехмерных координат и скоростей объекта, а ее двумерные сечения, найденные при помощи вычислительных экспериментов, свидетельствовали, что ее форма очень причудлива, и вряд ли может быть точно описана какой-либо аналитикой.

Возникла задача оценить размеры области сходимости в окрестности набора параметров, представляющих точное решение. Для этого вокруг модельного набора точных параметров выделялся некоторый 6-ти мерный куб. Внутри этого куба случайно выбирались точки — начальные приближения для проверки на сходимость. Отношение общего числа точек и числа точек, для которых алгоритм оценивания приводил к точному решению, позволял оценить долю  области сходимости по отношению к объему куба.

Подход, основанный на случайном размещении пробных точек для проверки сходимости обладал своими преимуществами — было нетрудно организовать параллельные вычисления. Таким образом,  для точной оценки размеров областей сходимости нужны были лишь вычислительные ресурсы.

С теоретико-вероятностных позиций метод представлял оценку вероятности в рамках схемы Бернулли по результатам эксперимента. Исходом в этой схеме была вероятность сходимости для случайно выбранной точки в кубе допустимых значений параметров. $$P = \frac{V_{\mbox{сход}}}{V_{\mbox{куб}}}\approx\frac{M}{N}, $$ где \(M, N\) — число точек, в которых наблюдалась сходимость алгоритма и общее их число соответственно. Из этой формулы видно, что точность оценки неизвестной вероятности \(P\) определяет точность определения объема области сходимости.

Формулы для интервальных оценок вероятности по результатам испытаний в схеме Бернулли следующие: $$\begin{array}{l}
\Delta = \frac{\Phi_{0}^{-1}(\alpha/2+1/2)}{2\sqrt n}\\
P = \frac{k}{n}\pm\Delta\end{array}
$$

В этой формуле \(k\) — наблюдаемое число успехов в схеме Бернулли; \(n\) — общее число испытаний\наблюдаений; \(\Phi_0(x)\) — функция стандартного нормального распределения (т.е. с нулевым математическим ожданием и единичной дисперсией).

Таким образом, если \(V_1\) подлежащий оценке неизвестный объем, целиком содержащийся, например, в кубе известного объема \(V\), а на основе вычислительного эксперимента, заключающегося в проверке принадлежности случайно выбранных в объеме \(V\) точек объему \(V_1\) удается найти отношение \(\frac{k}{n}\), где \(k\) — число точек, выпавших в \(V_1\), \(n\) — общее число точек, то на его основе удается построить оценку объема \(V_1\): $$ V_1 = V\dfrac{k}{n}\pm V\Delta$$

Это и есть базовая схема метода Монте-Карло. Вообще, в современном статистическом анализе методами Монте-Карло называют разнообразные вычислительные подходы, опирающиеся на целеноправленно проводимые эксперименты по имитации случайности. Это достаточно расплывчатое определение, но оно отражает многообразие проявлений данного подхода. Такие подходы правильней представлять как составляющие единой концепции — Монте-Карло — имитации случайности. Название подхода (концепции) происходит от названия (ныне) района в княжестве Монако Monte-Carlo (означает гора Карло), где находится первое в Европе казино. Рулетка всегда считалась генератором случайности, отсюда и происхождение названия подхода.

Методы Монте-Карло могут использоваться для решения различных задач, в том числе для вычисления площадей пересечений сложных фигур, приближенного нахождения значений многомерных интегралов и др. Единственное, что требуется — это мощные вычислительные ресурсы.

Более того, методы Монте-Карло как правило хорошо распараллеливаются, т.е. с максимальной эффективностью (во сколько раз больше процессов, участвующих в вычислениях, во столько раз уменьшается и необходимое время при фиксированной точности).

Площадь пресечения треугольников на плоскости. Пример вычислений на Python.

Рассмотрим задачу нахождения площади пересечения n-треугольников на плоскости. Можно построить алгоритм для решения этой задачи, который будет находить точное ее решение. Однако, очевидно, поиск площади пересечения треугольников — может быть весьма непростым. Получаемая в результате многократного пересечения треугольников фигура — какой-то выпуклый многоугольник, и нужно учесть все особенности его сложения, чтобы найти его площадь.

Метод Монте-Карло позволяет решить данную задачу приближенно более прозрачным способом. Дело в том, что проверка принадлежности точки треугольнику, вершины которого заданы набором координат — простая задача. Таким образом,  если разбросать множество точек внутри прямоугольника охватывающего все треугольники и подсчитать те из них, которые принадлежат всем треугольникам одновременно, можно легко оценить площадь такого пересечения.

# -*- encoding: utf-8 -*-from__future__importprint_functionimportnumpyasnpdefpoint_in_triangle(p1,p2,p3,p):'''Проверка принадлежности точки p треугольнику, заданному точками (p1, p2, p3). '''e1=p2-p1e2=p3-p1# Точка внутри треугольника если сумма ее коррдинат в базисе двух сторон меньше 1res=np.dot(np.linalg.pinv(np.vstack([e1,e2]).T),p-p1)if(res>=-4.0e-16).all()andres.sum()<=1:returnTrueelse:returnFalsedefestimate_intersection_area(p1i,p2i,p3i,n=100000):cmax=np.max(np.vstack([p1i,p2i,p3i]),axis=0)cmin=np.min(np.vstack([p1i,p2i,p3i]),axis=0)a=np.random.uniform(cmin[0],cmax[0],size=n)b=np.random.uniform(cmin[1],cmax[1],size=n)res=0# Пробегаем по всем пробным точкамforx,yinzip(a,b):# подсчитываем те, которые принадлежат всем треугольникам сразуifall([point_in_triangle(p1,p2,p3,np.array([x,y]))forp1,p2,p3inzip(p1i,p2i,p3i)]):res+=1return(cmax[1]-cmin[1])*(cmax[0]-cmin[0])*res/float(n)if__name__=='__main__':p1i=np.array([[0.0,0.5],[0.0,1.0],[0.0,2.0]])p2i=np.array([[1.0,0.0],[1.0,0.0],[1.0,0.0]])p3i=np.array([[0.0,0.0],[0.0,0.0],[0.0,0.0]])# В данном случае задан набор треугольников:# [0,0.5], [1,0], [0,0]# [0,1], [1,0], [0,0]# [0,2], [1,0], [0,0]print('Точное значение площади: 0.25','вычисленное:',estimate_intersection_area(p1i,p2i,p3i))

Представленная реализация метода Монте-Карло для вычисления площади пересечения треугольников позволяет рассчитать искомую площадь (0.25 — в примере) достаточно точно, но для этого требуется 100000 зондирующих точек. Время расчетов здесь весьма ощутимо, т.к. это пример — одна из самых неэффективных реализаций метода. Циклы на Python медленные, а здесь выполняется цикл по всем зондирующим точкам, и, как следствие, возрастает время вычислений. Код можно сделать быстрее, организовав его так, чтобы избежать длинных циклов на Python. Но это уже другая задача (ее решение возможно, либо на базе более аккуратной организации работы с массивами с использованием numpy, либо за счет реализации циклов на Си, например, применяя Cython).

blog comments powered by

Оглавление:

Построение дерева решений проекта
Вероятностная оценка риска
Метод Монте-Карло
Метод Монте-Карло (продолжение)


Метод Монте-Карло

Имитационное моделирование по методу Монте-Карло (Monte-Carlo Simulation) позволяет построить математическую модель для проекта с неопределенными значениями параметров, и, зная вероятностные распределения параметров проекта, а также связь между изменениями параметров (корреляцию) получить распределение доходности проекта.

Блок-схема, представленная на рисунке отражает укрупненную схему работы с моделью.

Применение метода имитации Монте-Карло требует использования специальных математических пакетов (например, специализированного программного пакета Гарвардского университета под названием Risk-Master) , в то время, как метод сценариев может быть реализован даже при помощи обыкновенного калькулятора.

Как уже отмечалось, анализ рисков с использованием метода имитационного моделирования Монте-Карло представляет собой “воссоединение” методов анализа чувствительности и анализа сценариев на базе теории вероятностей.

Результатом такого комплексного анализа выступает распределение вероятностей возможных результатов проекта ( например, вероятность получения NPV<0).

Упоминаемый ранее программный пакет Risk-Master позволяет в диалоговом режиме осуществить процедуру подготовки информации к анализу рисков инвестиционного проекта по методу Монте-Карло и провести сами расчеты.

Первый шаг при применении метода имитации состоит в определении функции распределения каждой переменной, которая оказывает влияние на формирование потока наличности. Как правило, предполагается, что функция распределения являются нормальной, и, следовательно, для того, чтобы задать ее необходимо определить только два момента (математическое ожидание и дисперсию).

Как только функция распределения определена, можно применять процедуру Монте-Карло.

Алгоритм метода имитации Монте-Карло

Шаг 1.Опираясь на использование статистического пакета, случайным образом выбираем, основываясь на вероятностной функции распределения значение переменной, которая является одним из параметров определения потока наличности.

Шаг 2. Выбранное значение случайной величины наряду со значениями переменных, которые являются экзогенными переменными используется при подсчете чистой приведенной стоимости проекта.

Шаги 1 и 2 повторяются большое количество раз, например 1000, и полученные 1000 значений чистой приведенной стоимости проекта используются для построения плотности распределения величины чистой приведенной стоимости со своим собственным математическим ожиданием и стандартным отклонением.

Используя значения математического ожидания и стандартного отклонения, можно вычислить коэффициент вариации чистой приведенной стоимости проекта и затем оценить индивидуальный риск проекта, как и в анализе методом сценариев.

Теперь необходимо определить минимальное и максимальное значения критической переменной, а для переменной с пошаговым распределением помимо этих двух еще и остальные значения, принимаемые ею. Границы варьирования переменной определяются, просто исходя из всего спектра возможных значений.

По прошлым наблюдениям за переменной можно установить частоту , с которой та принимает соответствующие значения. В этом случае вероятностное распределение есть то же самое частотное распределение, показывающее частоту встречаемости значения, правда, в относительном масштабе (от 0 до 1). Вероятностное распределение регулирует вероятность выбора значений из определенного интервала. В соответствии с заданным распределением модель оценки рисков будет выбирать произвольные значения переменной. До рассмотрения рисков мы подразумевали, что переменная принимает одно определенное нами значение с вероятностью 1. И через единственную итерацию расчетов мы получали однозначно определенный результат. В рамках модели вероятностного анализа рисков проводится большое число итераций, позволяющих установить, как ведет себя результативный показатель (в каких пределах колеблется, как распределен) при подстановке в модель различных значений переменной в соответствии с заданным распределением.

Задача аналитика, занимающегося анализом риска, состоит в том, чтобы хотя бы приблизительно определить для исследуемой переменной (фактора) вид вероятностного распределения. При этом основные вероятностные распределения, используемые в анализе рисков, могут быть следующими: нормальное, постоянное, треугольное, пошаговое. Эксперт присваивает переменной вероятностное распределение, исходя из своих количественных ожиданий и делает выбор из двух категорий распределений: симметричных (например, нормальное, постоянное, треугольное) и несимметричных (например, пошаговое распределение).

Существование коррелированных переменных в проектном анализе вызывает порой проблему, не рассмотреть которую означало бы заранее обречь себя на неверные результаты. Ведь без учета коррелированности, скажем, двух переменных — компьютер, посчитав их полностью независимыми, генерирует нереалистичные проектные сценарии. Допустим цена и количество проданного продукта есть две отрицательно коррелированные переменные. Если не будет уточнена связь между переменными (коэффициент корреляции), то возможны сценарии, случайно вырабатываемые компьютером, где цена и количество проданной продукции будут вместе либо высоки, либо низки, что естественно негативно отразится на результате.

Проведение расчетных итераций является полностью компьютеризированная часть анализа рисков проекта.

200-500 итераций обычно достаточно для хорошей репрезентативной выборки. В процессе каждой итерации происходит случайный выбор значений ключевых переменных из специфицированного интервала в соответствии с вероятностными распределениями и условиями корреляции. Затем рассчитываются и сохраняются результативные показатели (например, NPV). И так далее, от итерации к итерации.

Завершающая стадия анализа проектных рисков — интерпретация результатов, собранных в процессе итерационных расчетов. Результаты анализа рисков можно представить в виде профиля риска. На нем графически показывается вероятность каждого возможного случая (имеются в виду вероятности возможных значений результативного показателя).

Часто при сравнении вариантов капиталовложений удобнее пользоваться кривой, построенной на основе суммы вероятностей (кумулятивный профиль риска). Такая кривая показывает вероятности того, что результативный показатель проекта будет больше или меньше определенного значения. Проектный риск, таким образом, описывается положением и наклоном кумулятивного профиля риска.

Кумулятивный (интегральный, накопленный) профиль риска, показывает кумулятивное вероятностное распределение чистой текущей стоимости (NPV) с точки зрения банкира, предпринимателя и экономиста на определенный проект. Вероятность того, что NPV < 0 с точки зрения экономиста — около 0.4, в то время как для предпринимателя эта вероятность менее 0.2. С точки зрения банкира проект кажется совсем безопасным, так как вероятность того, что NPV > 0, около 95%.

Будем исходить из того, что проект подлежит рассмотрению и считается выгодным, в случае, если NPV > 0. При сравнении нескольких одноцелевых проектов выбирается тот, у которого NPV больше при соблюдении сказанного в предыдущем предложении.


Продолжение…

Версия для печати  

Добавить комментарий

Закрыть меню