Позиционная система счисления

 

Смешанной называется система счисления, в которой числа, заданные в некоторой системе счисления с основанием P изображаются с помощью цифр другой системы счисления с основанием Q, где Q<P. В такой системе P называется старшим основанием, Q — младшим основанием, а сама система счисления называется Q-P-ичной.

В смешанной системе счисления во избежании разночтения для изображения каждой P-ичной цифры отводится одинаковое количество Q-ичных разрядов, достаточное для представления любой P-ичной цифры.

Двоично-десятичная система счисления

Примером смешанной системы счисления является двоично-десятичная система. В двоично-десятичной системе счисления для изображения каждой десятичной цифры отводится 4 двоичных разряда, поскольку максимальная десятичная цифра 9 кодируется как 10012.

Например,

92510 = 1001 0010 01012-10.

Здесь последовательные четверки (тетрады) двоичных разрядов изображают цифры 9, 2 и 5 десятичной записи соответственно.

Хотя в двоично-десятичной записи используются только цифры 0 и 1, эта запись отличается от двоичного изображения данного числа. Например, двоичный код 1001 0010 0101 соответствует десятичному числу 2341, а не 925.

В случае если P=Ql (l – целое положительное число), запись любого числа в смешанной системе счисления тождественно совпадает с изображением этого числа в системе счисления с основанием Q. Примерами такой смешанной системы счисления являются двоично-восьмеричная и двоично-шестнадцатеричная.

Например,

A216 = 1010 00102 = 1010 00102-16

Назад: Представление данных и архитектура ЭВМ

  1. Определение системы счисления, типы систем счисления.

Система счисления – это совокупность приёмов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционная система счисления – это система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления, в которой цифры обозначаются различными знаками: Ⅰ – 1, Ⅲ – 3, Ⅵ – 6, L – 50 …

Основным недостатком такой системы является большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Позиционная система счисления – это система, в которой значение символа зависит от его места (позиции) в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 548 первая цифра означает количество сотен, вторая – десятков, третья – единиц. Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили наибольшее распространение.

Позиционные системы счисления характеризуются основанием. Основание (или базис) позиционной системы счисления – это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в разрядах данной системы счисления.

Для записи чисел в конкретной системе счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий и цифр: a1, a2, ,…,an. При этом каждой цифре a1 в записи  числа ставится в соответствие определённый количественный эквивалент: «вес» — S1.

Любое число N в позиционной системе счисления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов a1, взятых из алфавита системы, на последовательные целые степени основания S:

Сокращенная запись числа NS имеет вид:

При этой позиции цифр a1 в этой записи называются разрядами. Старшие разряды, соответствующие более высоким степеням основания S, располагаются слева, а младшие – справа. Цифры a1 в любом i-ом разряде могут принимать S различных значений,  при этом всегда ai<S.

В ЭВМ приняты десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Десятичная система счисления – основание S=10. Набор цифр этой системы 0, 1, 2, …, 9. Любое целое число в десятичной системе счисления записывается как сумма величин: 100, 101, 102, …, каждая из которых может быть взята от 1 до 9 раз. Например, число 8765.31 представляет собой сокращенную запись выражения:

Для физического представления чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления.

Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются, так называемые, двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний. Например, реле – замкнуто или разомкнуто, транзистор – заперт или открыт. Одно из этих устойчивых состояний может представлять цифру 0 или – 1. Простота технической реализации двухпозиционных элементов обеспечило наибольшее распространение в ЭВМ двоичной системы.

Двоичная система счисления – основание S=2. Для записи числа используются две цифры: 0 и 1. При этом каждый старший разряд больше соседнего младшего в два раза. Любое число в двоичной системе счисления представляется в виде суммы целых степеней основания S=2, умноженных на соответствующие коэффициенты (0 или 1). Например, двоичное число

Кроме двоичной системы счисления, в ЭВМ используется восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Основания этих систем соответствуют целым степеням числа 2 (8=23, 16=24), поэтому для них исключительно просты правила перевода в двоичную систему и наоборот.

Восьмеричная система счисления – основание S=8. Используются цифры: 0, 1, 2, …, 7. Любое число представляется суммой целых степеней основания S=8, умноженных на соответствующие коэффициенты ai=0, …, 7. Например,

Шестнадцатеричная система счисления – основание S=16. Алфавит цифровых знаков состоит из 16-ти символов: первые десять – арабские цифры от 0 до 9 и дополнительные – A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Например,

.

Представление чисел от 0 до 16 включительно в системах счисления с основанием 2, 8, 10, 16.

В табл. 1 представлена запись чисел от 0 до 16 в двоичной, восьмеричной, и шестнадцатеричной системах счисления.

Таблица 1.

десятичная двоичная восьмеричная шестнадцатеричная
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10

 

В некоторых ЭВМ ввод и вывод информации осуществляется в смешанных (двоично-кодированных) системах счисления, имеющих основание S>2, в которых каждая цифра числа представляется в двоичной системе. Наибольшее применение в ЭВМ получили восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная  двоично-кодированные системы счисления.

Двоично-восьмеричная система счисления. В этой системе каждая восьмеричная цифра представляется трехзначным двоичным числом – триадой. Например, = 001 011 111, 100 101   2-8.

1     3    7     4    5

Двоично-десятичная система счисления. В этой системе каждая десятичная цифра представляет четырёхзначным двоичным числом – тетрадой. Например,

273,5910= 0010 0111 0011, 0101 1001   2-10.­

2       7      3        5        9

Двоично-шестнадцатеричная система счисления.

В этой системе (как и в двоично-десятичной) каждая шестнадцатеричная цифра представляется четырехзначным двоичным числом (тетрадой). Например,

39C16=0011 1001 1100   2-16

3      9    12=C

При работе со смешанными системами счисления справедливо следующее утверждение: если P=Sk (где P,S – основания систем, k – положительные целые числа), то запись любого числа в смешанной S-P системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием S с точностью до нулей в начале записи целой части числа и в конце дробной.

Согласно этому утверждению, если P=8, S=2, k=3, то запись любого числа в двоично-восьмеричной системе совпадает с записью этого же числа в двоичной системе. Например: число 688 в двоично-восьмеричной системе будет  628=110 010 2-8;6     2

это же число в десятичной системе будет ; если теперь число 5010 представить в двоичной системе, получим 5010=110 0102.

Таким образом, двоичная  и двоично-восьмеричная запись одного итого же числа (628) совпадает.

40510 = 1100101012;

40510 = 19516;

19516 = 1 1001 0101  2-16 .

1     9       5

Сказанное справедливо и для записи любого числа в двоичной и двоично-шестнадцатеричной системах, P=16, S=2, k=4.

Например:

 

 

 

 

1010 = 10102;

1010 = 0001 0000 2-10;

1010 = 10102;

1010 = 0001 0000 2-10;

Однако, записи числа в двоичной и двоично-десятичной системах не совпадают. Для P=10 и S=2 нет такого целого числа k, чтобы выполнялось равенство 10=2k.

Например,

 

 

 

 

  1. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

 

Если число X из системы счисления с основанием s необходимо перевести в систему счисления с основанием p, перевод осуществляется по следующим правилам:

Правило 1.

При равенстве p=sk, где k – целое положительное число (например, p=8=23, k=3, s=2), в этом случае:

  • при переводе числа из двоичной системы счисления в восьмеричную, начиная с запятой в левую сторону для целой части и в правую – для дробной части, число разбивается по триадам и каждая триада заменяется восьмеричной цифрой;
  • при переводе числа из восьмеричной системы счисления в двоичную каждая цифра записывается как двоичная по триадам;
  • при переводе числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, число разбивается по тетрадам и каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой (P=16=24, k=4, s=2);
  • при сохранении числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную каждая цифра записывается как двоичная по тетрадам.

Например,

  1. 011 011 011, 101 110 2 = 333,568 ;

3     3     3      5     6

  1. 167,568 = 001 110 111, 101 110 2 ;

1     6     7      5     6

  1. 0011 1011 0100, 1111 1010 2 = 3B4,FA16 ;

 

3      B      4        F       A

  1. A29,CF16 = 1010 0010 1001, 1100 1111 2.

 

A       2       9       C       F

 

Правило2.

При не выполнении равенства p=sk (где k – целое положительное число), в этом случае:

  • Целая часть числа делится на новое основание p; полученный от деления первый остаток является младшей цифрой целой части числа с основанием p; затем полученное число снова делится на основание p, в результате определяется второй остаток, соответствующий следующей после младшей цифре числа с основанием p; деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя; последнее частное даёт старшую цифру числа с основанием p. Например,
  1. Перевести число 2610 в двоичную систему счисления:
26 2
26 13 2
(0) 12 6 2
(1) 6 3 2
(0) 2 (1)
(1)

 

 

Таким образом, 2610 = 110102.

  1. Перевести число 19110 в восьмеричную систему счисления:
191 8
184 23 8
(7) 16 (2)
(7)

Таким образом, 19110 = 2778.

  • Дробная часть числа умножается на новое основание p, при этом целая часть полученного произведения является старшей цифрой дробной части числа с основанием p; затем дробная часть произведения снова умножается на основание p; полученная часть произведения будет второй искомой цифрой; снова дробная часть умножается на основание p и т. д.

Например, число 0,3110 перевести в двоичную систему счисления:

 

 

 

 

 

 

Таким образом, 0.3110 = 0.01002.

Число цифр в числе, представленном в системе счисления с основанием p, определяется из условия, что точность числа в этой системе счисления должна соответствовать точности числа в системе счисления с основанием s.

В смешанных числах целая и дробная часть переводиться отдельно.

a)      ;

b)     ;

c)     ;

d)     .

При переводе чисел в 10-тичную систему счисления пользуются разложением числа по степеням оснований системы счисления.

Например,

 

 

 

 

 

 

 

Системы исчисления (десятеричная, двоичная, восьмеричная и т.д.)

Т.е.

цифры, которыми мы привыкли пользоваться в десятичной форме (системе) исчисления (опираясь на десятки, сотни, тысячи,…), переводятся в компьютере в двоичную систему исчисления, где всё опирается на единицу и ноль.

Следите за мыслью. Так образуются десятичные цифры:

Например,

2573,8 = 2*1000 + 5*100 + 7*10 + 3*1 + 8*0,1 — опираемся на десятки, перемножаем их на цифры до 10.

То же самое мы можем записать, при помощи степеней:

2*103 + 5*102 + 7*101 + 3*100 + 8*10-1

Мы даже с помощью языка делаем это автоматически, добавляя к цифре её основание: две тысячи пятьсот семьдесят три и восемь десятых.

Цифры в десятичной форме обозначают в информатике так: 2573,810, т.е. приписывают внизу цифру 10.

Двоичные цифры образуются также, но при умножении на двойку в степени.

При этом удобнее начинать умножать каждую цифру с конца числа сначала на нулевую степень указанной системы исчисления, потом на первую, на вторую и т.д. Затем вы их просто складываете.

Например,

00112 =

= 1*20 + 1*21 + 0*22 + 0*23 =

= 1*1 + 1*2 + 0*4 + 0*8 = 310

Всё верно, получилось, 3 в десятичной системе.

Для перевода в обратную сторону (из двоичной в десятичную), вы используете деление на систему исчисления, в данном случае, на 2. Если остаток от деления 0, то мы пишем в число 0, если остаток от деления 1, то пишем 1.

Итак, переводим число 1410 в двоичную систему.

14:2 = 7 (остатка нет, пишем 0 в конце, т.е. снова начинаем с конца числа, продолжаем делить полученное число)

7:2 = 3 (остаток 1, мы его приписываем к 0 и у нас получается число 102, продолжаем деление)

3:2 = 1 (остаток снова 1, приписываем его в начало числа: 1102)

Оставшуюся единицу пишем спереди, получаем: 11102

Проверим:

11102 = 0*20 + 1*21 + 1*22 + 1*23 = 0*1 + 1*2 + 1*4 + 1*8 = 0 + 2 + 4 + 8 = 1410

Аналогично можно происходить перевод в восьмеричную систему, где у нас участвуют только цифры 0,1,2,3,4,5,6,7 где цикл повторяется через каждые 8 цифр. Где то же число 1410 будет записано, как 168

Или шестнадцатеричную систему из цикла в 16 знаков: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, где 1410 будет записано, как E8, а 1710, как 118

Самый быстрый способ перевести двоичное число в десятиричное или наоборот — это поменять вид калькулятора на «программист», ввести нужное число и использовать переключатели сбоку: «Dec» (десятичный) и «Bin» (бинарный — двоичный)

<< Предыдущий урок

Системы счисления

Общие сведения о системах счисления

…на главную страницу

Под системой счисления понимается способ изображения чисел, например на бумаге, а также модель их представления в аппаратуре вычислительных и других цифровых устройств.

Все имеющиеся системы счисления можно разделить на две большие группы позиционные и непозиционные системы.

Непозиционные системы — это системы, в которых значение числа не зависит от позиции цифр в числе, а определяется просто как сумма цифр входящих в число. То есть неважно, где стоит конкретная цифра в начале, в конце или в середине числа. Классическим примером непозиционной системы счисления является римская система (римские числа).

Например: I — один; II — два; III — три; V — пять; VI — шесть; Х — десять; XII — двенадцать; XX — двадцать.

Но при всей своей простоте и красоте непозиционные системы счисления имеют два существенных недостатка. Первый недостаток связан с изображением больших чисел. Здесь запись большого числа получается очень длинной и громоздкой. Часто запись числа всего лишь в два раза большего, оказывается в два раза длиннее. Второй существенный недостаток непозиционных систем кроется в отсутствии простых и детерминированных алгоритмов арифметических действий над числами, записанными в этих системах. Поэтому непозиционные системы счисления широкого распространения не нашли.

В позиционных системах напротив, значение числа зависит от позиции цифр входящих в его изображение. Например, в нашей родной десятичной системе счисления числа 12 — двенадцать и 21 — двадцать один имеют один и тот же набор цифр, но по значению отличаются почти в два раза. Также, обратите внимание, что число, увеличившись почти в два раза, совсем не изменило длину своей записи. А для увеличения числа в десять раз, запись удлинится всего на одну цифру ( 210 — двести десять). Также говорят, что в позиционной системе счисления от позиции цифры зависит ее вес. В числе 12 двойка указывает количество единиц, в числе 21 — количество десятков, а в числе 210 — количество сотен. По мере перемещения цифры влево (в сторону старших разрядов) увеличивается ее вес.

Но самым полезным свойством позиционных систем является наличие простых и детерминированных алгоритмов арифметических действий над числами, представленными в этих системах. Причем эти алгоритмы не зависят от значения самих чисел, от того насколько они велики или малы. Все действия с числами сводятся к действиям над их разрядами (цифрами, входящими в соответствующие разряды).

Благодаря своим достоинствам позиционные системы счисления оказались практически единственными используемыми в жизни людей и особенно в технике. Заметим сразу, в технике используются не такие системы как у людей. Среди людей, почти везде, используется так называемая десятичная система счисления. Ученые утверждают, что это связано с количеством пальцев на двух руках. В технике же, почти всегда двоичная, а также вспомогательные к ней восьмеричная и шестнадцатеричная. Хотя теоретически можно построить бесконечное количество позиционных систем, на практике наибольшую популярность снискали эти три.

Что означают эти названия и чем отличаются системы друг от друга? Названия происходят от основания системы счисления — это главнейший параметр позиционных систем. А под основанием понимается количество цифр используемых для изображения числа. Так в привычной для нас десятичной системе используется десять цифр (0,1,2…9 ). Ученые утверждают, что это связано с количеством пальцев на двух руках. В шестнадцатеричной — шестнадцать, в восьмеричной — восемь, а в двоичной всего лишь две (0 и 1).

Для примера посмотрим, как выглядит число двадцать девять в различных системах счисления:

Десятичная — 2910
Шестнадцатеричная — 1D16
Восьмеричная — 358
Двоичная — 111012

Обратите внимание, чтобы не было путаницы, справа внизу от записи числа маленькими цифрами указывается основание системы счисления в виде десятичного числа.

Подробнее о каждой системе счисления вы можете узнать на нашем сайте по ссылкам указанным ниже.

Десятичная система счисления
Двоичная система счисления
Восьмеричная система счисления
Шестнадцатиричная система счисления

…на главную страницу

Частые вопросы

Где используются разные системы счисления?

Всё зависит от конкретной системы счисления.

Десятичная система счисления — очевидно, используется практически повсеместно.

Римская система счисления в современном мире используется чаще всего, когда хотят указать на номер по порядку. Например, “10” означает количество (десять штук), а римское «Х» означает «десятый».

Двоичная система счисления — наиболее широко используется в компьютерах, так как один разряд двоичного числа соответствует одному биту — минимальной единице информации в компьютерной технике.

Также, двоичную систему счисления традиционно используют при указании линейных размеров в дюймах, например, 715/16″, 311/32″. Самое первое известное использование двоичной системы счисления принадлежит, пожалуй, древнеиндейскому математику Пингале1 (примерно II-V века до н.э.).

Шестнадцатеричная система счисления широко используется в низкоуровневом программировании, а также в компьютерной документации. В современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Такое использование началось с системы IBM/360, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему счисления.

С восьмеричной системой счисления вообще всё интересно. Она использовалась, например, некоторыми американскими индейцами, так как они считали, что нужно считать количество не по количеству пальцев рук, а по количеству промежутков между пальцами2.

В Европе в 1716 году король Швеции Карл XII обратился к Эммануилу Сведенборгу с просьбой разработать 64-ричную систему счисления, на что Эммануил Сведенборг заметил, что обычным людям не с таким высоким интеллектом, как у короля, будет сложно разобраться с системой счисления с таким большим основанием и предложил использовать, поэтому, восьмеричную систему счисления1. Интересно бы узнать, почему Карл XII выбрал именно такое основание.

Также, восьмеричная система счисления иногда используется в компьютерах — по видимому, чаще всего при определении прав в Unix-подобных операционных системах. Когда-то были компьютеры, в которых использовались 24-х и 36-битные слова. В таких компьютерах очень удобно было использовать восьмеричную систему счисления, так как все биты слова могут быть представлены целым количеством восьмеричных цифр и не нужно было всегда дописывать незначащие нулевые биты в начале. Например, для 36-битного слова нужно ровно 12 восьмеричных разрядов.

В нашем курсе дискретной математики мы изучаем восьмеричную систему, так как это одна из систем, в которую можно выполнить непосредственный перевод из двоичной системы счисления, минуя десятичную.

Шестидесятеричная система счисления широко используется при подсчёте минут и секунд. Происхождение шестидесятеричной системы неясно. Возможно, она связана с двенадцатеричной системой счисления (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке). Существует также гипотеза О. Нейгебауэра (1927) о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел3.

А можно ли добавлять нолики в начале числа в шестнадцатеричной системе счисления?

Все правила для всех позиционных систем счисления — одинаковые. В десятичной системе счисления допускается приписывать незначащие нули в начале, а после десятичной точки — в конце. Точно также, незначащие нули можно дописывать в любой другой позиционной системе счисления.

Какими символами записывать число в 25-ричной системе счисления?

16-ричная система счисления — достаточно распространённая система счисления. Для этой системы счисления существует стандарт — цифры больше 9 записывают буквами латинского алфавита от A до F.

Все прочие позиционные системы счисления с основанием больше 10 не являются распространёнными и для них не существует стандарта на запись. Но, по аналогии, было бы удобно и в этих системах счисления тоже использовать буквы латинского алфавита.

В частности, в 25-ричной системе счисления первые 10 цифр совпадают с цифрами в десятичной системе счисления — от 0 до 9, а оставшиеся 15 — кодируются буквами латинского алфавита от A до O. Те же самые правила касаются и других позиционных систем счисления.

А как быть с системой счисления, для которой не хватит букв латинского алфавита?

Какого-либо универсального стандарта в этой области нет. Кроме случаев более или менее широко используемых систем счисления.

Если Вам приходится действовать с такой системой счисления, то либо придерживайтесь правил, которые придумали другие (если такой системой счисления пользуется ещё кто-нибудь), либо придумайте собственные правила.

На практике пример такой системы счисления с большим основанием — это 60-ричная система счисления для учёта секунд и минут. Мы все знаем, как записывается время. Например, запись “34:17”, означающая «34 минуты 17 секунд» — фактически является записью числа в шестидесятеричной системе счисления с двумя цифрами.

Как правильно читать числа в системах счисления, отличных от десятичной?

В целом, нет стандарта на то, как правильно следует читать такие числа.

Строго говоря, назвать 208 словом «двадцать» — не совсем корректно, так как всем известно, «дцать» — означает «десятки», а в восьмеричной системе счисления эта двойка означает не количество десятков, а количество восьмёрок. Вероятно, правильно это число нужно было бы прочитать как «два ноль», но это не является стандартом.

При использовании шестнадцатеричной системы счисления буквы произносятся так, как они обычно прозиносятся в латинском алфавите: «А», «Бэ», «Цэ», «Дэ», «Е», «Эф». Число 1E3.F16 обычно произносят так: «один е три точка эф».

Тем не менее, если в записи числа используются только десятичные цифры, то эти числа часто читаются так, как если бы они были записаны в десятичной системе счисления. Например, “517.58” можно произнести как «пятьсот семнадцать целых пять десятых в восьмеричной системе счисления». Вероятно, более точно можно было бы сказать так: «пятсот семнадцать целых пять восьмых в восьмеричной системе счисления», но в таком случае у некоторых может возникнуть ступор в понимании того, как записать «пять восьмых».

Иногда части числа называют по разным правилам. Например, так: «пятсот семнадцать точка пять в восьмеричной системе счисления». Стандарта в этой области пока что, кажется, тоже нет.

Думается, что самое важное в произношении чисел — чтобы остальным было понятно, что Вы имеете в виду.

Как запомнить таблицу соответствия двоичных чисел восьмеричным и шестнадцатеричным?

Запомнить эту таблицу можно только с опытом — много раз к ней обращаться, и через некоторое время Вы будете знать её наизусть.

Но запоминать эту таблицу не требуется! Определить соответствие настолько легко, что я даже не могу быть уверенным в том — помню ли я эту таблицу наизусть или каждый раз вычисляю? Чтобы определить соответствие, нужно знать всего несколько совершенно простых вещей:

  • Одной 16-ричной цифре соответствует 4 двоичных цифры, а одной 8-ричной — 3 двоичных цифры. Это легко запомнить, так как 24=16, а 23=8.

  • Нужно научиться в уме переводить числа от 0 до 7 из восьмеричной системы счисления в десятичную и наоборот. Это очень сложная операция, в уме это могут проделать только вундеркинды. Если Вы не вундеркинд, то можете просто запомнить, что 0=0, 1=1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=5, 6=6, а 7 равно 7.

  • Нужно научиться в уме переводить числа от 0 до 15 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную. Это очень просто, так как цифры от 0 до 9 совпадают, а числам от 10 до 15 соответствуют буквы латинского алфавита от А до F. Можно каждый раз в уме считать (10 — это А, 11 — это В, 12 — это С и т.д.)

  • Далее, нужно научиться в уме переводить числа от до 15 из двоичной в десятичную.

  • Самое сложное — это научиться в уме переводить числа из двоичной системы счисления в десятичную. Но это умение само по себе покрывает значительную часть таблицы.

  • Теперь Вы можете легко перевести любое число от 0 до 15 из двоичной системы счисления в десятичную, а потом — в шестнадцатеричную или в восьмеричную. А можете и наоборот.

Чтобы переводить числа, нужно уметь делить в столбик. А как быть, если я не умею делить в столбик?

Представленный здесь теоретический материал подразумевает наличие у Вас некоторых умений. Если этих минимальных умений у Вас ещё нет, то, чтобы понять написанное здесь, сначала имеет смысл получить эти простые умения.

Чтобы разобраться со всем представленным здесь теоретическим материалом, Вам потребуется:

  • Понимать, что такое число в принципе.

  • Уметь сравнивать числа между собой.

  • Понимать суть операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень для чисел в десятичной системе счисления.

  • Уметь выполнять эти операции сложения, вычитания, умножения и деления на бумаге (в столбик) для чисел в десятичной системе счисления.

Ссылки

1. http://ru.wikipedia.org/Пингала
Пингала — древнеиндийский математик.

2. http://en.wikipedia.org/wiki/Octal#Usage (на англ. яз.)
The octal numeral system

3. http://ru.wikipedia.org/Шестидесятеричная система счисления
Позиционная система счисления по целочисленному основанию 60.

Последняя модификация: 28.02.09 19:45

q

Обсуждение статьи в форуме

Не проходите мимо! Оставьте Ваш комментарий в форуме! >>>

Просмотреть все комментарии в режиме форума. Всего комментариев: 1
Не проходите мимо! Оставьте Ваш комментарий в форуме! >>>

Цитирование материалов моего сайта приветствуется! при условии видимой действующей! гиперссылки на мой сайт.  [Ссылки]

Если Вы нашли опечатку на этой странице, пожалуйста, выделите ее мышью и нажмите Ctrl+Enter. Сделаем язык чище!

(c) Yuri Popoff, 2004 — 2008, popoff.donetsk.ua, style.donetsk.ua

Добавить комментарий

Закрыть меню