Простые числа близнецы

Простые числа

Все натуральные числа, кроме единицы подразделяются на простые и составные. Простое число — это натуральное число, которое имеет только два делителя: единицу и само себя. Все остальные называются составными. Исследованием свойств простых чисел занимается специальный раздел математики — теория чисел. В теории колец простые числа соотносят с неприводимыми элементами.

Приведем последовательность простых чисел начиная с 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, … и т.д.

Согласно основной теореме арифметики каждое натуральное число, которое больше единицы можно представить в виде произведения простых чисел. Вместе с тем это является единственным способом представления натуральных чисел с точностью до порядка следования сомножителей. Исходя из этого, можно сказать, что простые числа — это элементарные части натуральных чисел.

Такое представление натурального числа называется разложением натурального числа на простые числа или факторизацией числа.

Одним из самых древних и эффективных способов вычисления простых чисел является «решето Эрастофена».

Практика показала, что после вычисления простых чисел с помощью решета Эрастофена требуется проверить, является ли данное число простым. Для этого разработаны специальные тесты, так называемые тесты простоты. Алгоритм этих тестов являются вероятностными. Чаще всего их применяют в криптографии.

Кстати сказать, что для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты. К примеру, для проверки чисел Мерсенна на простоту применяют тест Люка-Лемера, а для проверки на простоту чисел Ферма — тест Пепина.

Все мы знаем, что чисел бесконечно много.

Справедливо возникает вопрос: сколько же тогда существует простых чисел? Простых чисел также бесконечное количество. Наиболее древним доказательством этого суждения является доказательство Евклида, которое изложено в «Началах». Доказательство Евклида имеет следующий вид:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число невозможно разделить ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Таким образом, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Теорема распределения простых чисел утверждает, что количество простых чисел меньших n, обозначаемое π(n), растёт как n / ln(n).

За тысячи лет исследования простых чисел, было выявлено, что наибольшим известным простым числом является 243112609 − 1. Это число включает 12 978 189 десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M43112609). Это открытие было сделано 23 августа 2008 года на математическом факультете университета uCLA в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS.

Главной отличительной особенностью чисел Мерсенна является наличие высоко эффективного теста простоты Люка — Лемера. С его помощью простые числа Мерсенна на протяжении длительного периода времени являются самыми большими из известных простых чисел.

Однако по сей день многие вопросы относительно простых чисел не получили точных ответов.

На 5-м Международном математическом конгрессе Эдмунд Ландау сформулировал основным проблемы в области простых чисел:

Проблема Гольдбаха или первая проблема Ландау заключается в том, что необходимо доказать или опровергнуть, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел.
Вторая проблема Ландау требует найти ответ на вопрос: бесконечно ли множество «простых близнецов» — простых чисел, разность между которыми равна 2?
Гипотеза Лежандра или третья проблема Ландау такова: верно ли, что между n2 и (n + 1)2 всегда найдётся простое число?
Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида n2 + 1?
Помимо вышеперечисленных проблем существует проблема определения бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях типа числа Фибоначчи, числа Ферма и т. д.

Основной сферой приложения простых чисел является криптография. Наибольшее распространение в этой области получили простые числа порядка 10300. Кроме этого простые числа используются в хеш-таблицах, а также для генерации псевдослучайных чисел (в частности, в ГПСЧ Вихрь Мерсенна).

Поделиться ссылкой

Чжан Итан (кит. упр. , пиньинь: Zhng Ytng; род. 1955) — американский математик китайского происхождения, работающий в области теории чисел.

В 2013 году Чжан отправил в журнал Annals of Mathematics статью, в которой доказывалось что существует бесконечно много пар последовательных простых чисел с разностью не более 70 миллионов. Данное доказательство может рассматриваться как решение ослабленного варианта задачи о простых числах-близнецах. Статья Чжана прошла рецензирование и была принята в печать.

Образование

В 1978 году Чжан поступил в Пекинский университет и закончил его в 1982-м, получив степень бакалавра по математике. После окончания магистратуры в 1985-м, Чжан поступил в аспирантуру университета Пердью. В декабре 1991 года он защитил диссертацию на степень доктора философии.

Карьера

Диссертация Чжана была посвящена проблеме якобиана. После окончания аспирантуры у Чжана были проблемы с поиском работы в научной сфере. Ему приходилось работать бухгалтером, в мотелях, в ресторанах и т. д. В конце концов ему удалось получить должность лектора в университете Нью-Гэмпшира. В 2013 году он был награждён премией Островского, в 2014-м — премией Коула по теории чисел, премией Рольфа Шока по математике и стал лауреатом стипендии Мак-Артура .По состоянию на январь 2014 года он занимает должность полного профессора в университете Нью-Гэмпшира.

Простые числа-близнецы это пара простых чисел, разница между которыми составляет 2.

Наименьшими числами-близнецами являются: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71 , 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229 ), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827 , 829), (857, 859), (881, 883)

1.

Свойства

  • Все пары простых-близнецов кроме (3, 5) имеют вид .
Действительно для любой пары простых чисел-близнецов число, находящееся между ними является то четным. Также оно делится на 3, поскольку из трех последовательных чисел одно должно делиться на три. Поэтому данное число также делится на 6, а двое соседних чисел имеют вид
  • Числа m, m + 2 являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда:
Действительно
Действительно выполняется в том и только том случае, когда выполняются равенства:

Первая из этих равенств эквивалентна , Что согласно теоремой Уилсона выполняется тогда и только тогда, когда m простое число.
Во второй равенства домножимо обе части на m. После элементарных преобразований получаем:

Нетрудно заметить, что последняя равенство выполняется в том и только том случае, когда , Что согласно варианту теоремы Уилсона эквивалентно утверждению, что число m + 2 — простое.
  • Теорема Бруна: Ряд из чисел обратных к числам-близнецов сходится:
Число, являющееся суммой ряда называется константой Бруна.

2. Самые известные простые-близнецы

В настоящее время наибольшей известной парой простых-близнецов является 65516468355 ? 2 333333 ? 1. [1][2] Шесть крупнейших известных пар:

3. Гипотеза о бесконечности

Одним из знаменитых открытых проблем теории чисел является конечность или бесконечность простых-близнецов. Интуитивно большинство математиков склоняются к мысли о существовании бесконечного множества таких чисел однако этот факт остается доказанным.

3.1. Гипотеза Харди-Литлвуда

По гипотезе Харди-Литлвуда количество пар простых-Близнюков, не превышающих x, асимптотически приближается к

где — Константа простых-близнецов:

4. Простые числа-триплеты

Последовательность простых чисел (p, p +2, p +6) или (p, p +4, p +6) называется триплетом.

Первые простые числа-триплеты:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317 ), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

В настоящее время крупнейшими известными простыми числами-триплетами являются:

(P, p +2, p +6), где p = 2072644824759 ? 2 33333 — 1 (10047 цифр, ноябрь, 2008, Norman Luhn, Fran?ois Morain, FastECPP)

Примечания

Добавить комментарий

Закрыть меню