Ряд фурье для чайников

Содержание

Похожие главы из других работ:

Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

4.1 Разложение в ряд Фурье заданной периодической последовательности импульсов

Схема электрической цепи, с учетом таблицы 1, представлена на рис. 7. Любую периодическую функцию f(t), удовлетворяющую условиям Дирихле можно разложить в ряд Фурье. Обозначим период функции T, а основную частоту _ . Ряд Фурье можно записать двояко…

Математическое моделирование и численные методы в решении технических задач

6. Ряды Фурье

Теоретические сведения Ряд Фурье является частным случаем функциональных рядов. Функциональным рядом называется выражение вида где U1(x),U2(x), … ,Uk(x), … — функции…

Нормированные пространства

§2. Связь между коэффициентами Фурье — периодической функции и ее нормой в .

Теория интерполяции имеет многочисленные приложения в теории рядов Фурье. Определение. Пусть -периодическая функция, такая что . Нормой в пространстве называется число , а коэффициентами Фурье функции называются числа…

Представление функции рядом Фурье

Определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье.

В предыдущем параграфе было сказано, что существует ряд функций, которые можно представить в виде бесконечного тригонометрического ряда. Для того, что бы установить возможность разложения некоторой функции…

Представление функции рядом Фурье

Представление функций рядом Фурье

Наложим на функцию f(x) более тяжелое требование, а именно—предположим ее кусочно-дифференцируемой в промежутке .

Тогда имеет место общая теорема: Теорема. Если функция f(x) с периодом кусочно-дифференцируема в промежутке…

Представление функции рядом Фурье

Примеры разложения функций в ряд Фурье

Функции, которые ниже приводятся в качестве примеров, как правило, относятся к классу дифференцируемых или кусочно-дифференцируемых.

Поэтому сама возможность их разложения в ряд Фурье—вне сомнения, и на этом мы останавливаться не будем…

Преобразование Фурье и его некоторые приложения

Интеграл Фурье в комплексной форме. Формулировка теоремы о сходимости интеграла Фурье для кусочно-гладких и абсолютно интегрируемых на числовой прямой функции

(1) интегральная формула Фурье. Вначале введем понятие главного значения интеграла. Пусть функция интегрируема на любом отрезке числовой прямой. Определение 1.1. Если существует конечный предел , ,(1…

Преобразование Фурье и его некоторые приложения

Преобразование Фурье

Запишем правую часть формулы (2.8) в виде .(2.1) Положим: .(2.2) Определение 2.1. Функция называется преобразованием Фурье функции . Замечание 2.1. Если функция…

Преобразование Фурье и его некоторые приложения

Примеры нахождения преобразования Фурье

Пример 1. . Тогда преобразование Фурье примет следующий вид: Ответ: Пример 2. = Ответ: Пример 3…

Преобразование Фурье и его некоторые приложения

Некоторые свойства преобразования Фурье

Теорема 1.1. (свойство линейности преобразования и обратного преобразования Фурье) Если и ( и ) и взяты (, ), то для функции (). Справедливость заключения теоремы следует из свойства линейности для несобственного интеграла и формул (2.2) (2.4)…

Преобразование Фурье и его некоторые приложения

Сверстка и преобразования Фурье

Определение 5.1. Сверткой функций и , абсолютно интегрируемых на числовой прямой , называется функция .(5.1) Теорема 5.1. Если , то: свертка функций существует почти для любых и ; для преобразования Фурье сверстки справедлива формула .(5…

Уравнение Лапласа, решение задачи Дирихле в круге методом Фурье

4.Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье

Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению: внутри круга И граничному условию на границе круга, Где — заданная функция, — полярный угол. Введем полярную систему координат с началом в центре круга. — полярные координаты…

Уравнения свертки. Обобщенные функции

2.3 Преобразование Фурье обобщенных функций

Пусть основное пространство состоит из бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций действительного переменного , равных нулю вне некоторого конечного интервала. Преобразование Фурье функции определяется соотношением:…

Частотно-временной анализ сигналов

3. Прямое и обратное преобразование Фурье

При — прямое преобразование Фурье — обратное преобразование Фурье. Комплексная функцияимеет смысл спектральной плотности, ее иногда называют непрерывным спектром Фурье-функции f(t). Также как и в случае периодической функции, предполагается…

Эллиптические функции Якоби

2 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ФУРЬЕ

Так как при вещественных значениях аргументов функции Якоби snu, cnu, dnu удовлетворяют условию теоремы Дирихле, то для них могут быть построены соответствующие ряды Фурье. Функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле в интервале (?l,l)…

Разложение в ряд Фурье

Введите функцию, которую будете разложить в ряд Фурье

Выполним разложение функции f(x)
в ряд Фурье на отрезке [a, b]

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция — арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция — арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
e
e число, которое примерно равно 2.7
exp(x)
Функция — экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
pi
Число — «Пи», которое примерно равно 3.14
sin(x)
Функция — Синус от x
cos(x)
Функция — Косинус от x
sinh(x)
Функция — Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция — Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция — квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция — Квадрат x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа
вводить в виде 7.5, не 7,5
2*x
— умножение
3/x
— деление
x^3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание

Лекция 2

 

Преобразование Фурье

 

Соотношение

называют прямым преобразованием Фурье. Функция угловой частоты называется Фурье-изображением или частотным спектром функции .

Спектр характеризует соотношение амплитуд и фаз бесконечного множества бесконечно малых синусоидальных компонент, составляющих в сумме непериодический сигнал . Операция преобразования Фурье математически записывается следующим образом:

где — символ прямого преобразования Фурье.

Спектры в теории автоматического управления представляют графически, изображая отдельно их действительную и мнимую части:

На рис. 1 представлено типичное изображение спектра непериодического сигнала.

Рис. 1

Отметим следующие особенности спектра непериодической функции :

  1. Спектр непериодической функции времени непрерывен;

  2. Область допустимых значений аргумента спектра

  3. Действительная часть спектра – четная функция частоты, мнимая часть спектра – нечетная функция, что позволяет использовать одну половину спектра

Преобразование Фурье обратимо, то есть, зная Фурье-изображение, можно определить исходную функцию – оригинал. Соотношение обратного преобразования Фурье имеет следующий вид:

или в сокращенной записи , где — символ обратного преобразования Фурье. Заметим, что временная функция имеет преобразование Фурье тогда и только тогда, когда:

  • функция однозначна, содержит конечное число максимумов, минимумов и разрывов;

  • функция абсолютно интегрируема, то есть

Обратное преобразование Фурье возможно только в том случае, если все полюсы — левые.

Рассмотрим примеры определения спектра временных функций.

Пример:

Найдем частотный спектр дельта-функции.

,

так как при

,

а при и

.

В итоге, имеет единичный, равномерный и не зависящий от частоты действительный спектр, а мнимая часть спектра будет равна нулю (см. рис.2).

Рис. 2

Пример:

Найдем частотный спектр единичной ступенчатой функции.

Для этой функции не выполняется требование абсолютной интегрируемости, так как

Поэтому Фурье-изображения не имеет.

 

Преобразование Лапласа

 

Соотношение

называют прямым преобразованием Лапласа. Комплексная переменная называется оператором Лапласа, где — угловая частота, — некоторое положительное постоянное число.

Функция комплексной переменной называется изображением сигнала по Лапласу. Операция определения изображения по оригиналу сокращенно записывается — , где — символ прямого преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа обратимо, то есть, зная изображение по Лапласу, можно определить оригинал, используя соотношение обратного преобразования

или , где — символ обратного преобразования Лапласа.

Отметим, что преобразование Лапласа изображает исходную функцию лишь при , а поведение исходной функции при никак не сказывается на изображении. Класс функций, преобразуемых по Лапласу, значительно шире класса функций, преобразуемых по Фурье. Практически любые функции времени в ТАУ имеют преобразование Лапласа.

Получим изображения по Лапласу для импульсных функций.

,

так как при ,

, и при .

.

На практике для выполнения прямого и обратного преобразований Лапласа используются таблицы преобразований, фрагмент которой показан в табл. 1.

Таблица 1.

1

Таблицы преобразования Лапласа могут быть использованы для определения Фурье-изображений таких абсолютно интегрируемых функций, которые равны 0 при . Для получения Фурье-изображений в этом случае достаточно положить в изображении по Лапласу . В общем виде это выглядит как

,

если при и

Рассмотрим формулировки основных теорем преобразования Лапласа, которые широко используются в ТАУ.

  1. Теорема линейности. Любое линейное соотношение между функциями времени справедливо и для изображений по Лапласу этих функций;

  2. ;

  3. Теорема о дифференцировании оригинала.

  4. Если и , то ,

    где — начальное значение оригинала.

    Для второй производной используют выражение

    .

    Для производной -го порядка справедливо следующее соотношение:

    ;

    Для производной -го порядка при нулевых начальных условиях справедливо следующее соотношение:

    ;

    то есть дифференцирование степени оригинала по времени при нулевых начальных условиях соответствует умножению изображения на .

  5. Теорема об интегрировании оригинала.

;

Замечание

В области изображений по Лапласу сложные операции дифференцирования и интегрирования сводятся к операциям умножения и деления на , что позволяет переходить от дифференциальных и интегральных уравнений к алгебраическим. Это является главным достоинством преобразования Лапласа как математического аппарата теории автоматического управления.

  1. Теорема запаздывания. Для любого справедливо соотношение

  2. ;

  3. Теорема о свертке (умножении изображений).

  4. ,

    где

    ;

  5. Теорема о предельных значениях. Если , то

если существует.

Для нахождения оригинала функции по ее изображению используют обратное преобразование Лапласа. Функцию изображения необходимо представить в форме Хэвисайта, воспользовавшись необходимой формулой разложения дробно-рациональной функции. Полученную сумму простейших дробей подвергают обратному преобразованию Лапласа. Для этого можно воспользоваться таблицами преобразования Лапласа, которые определяют изображения многих временных функций. Фрагмент таблицы преобразования Лапласа приведен в табл. 1. В тех случаях, когда имеются комплексно-сопряженные полюсы изображения, необходимо преобразовать соответствующие простейшие дроби к виду, удобному для использования таблицы преобразования Лапласа. Существенно облегчает преобразование использование персонального компьютера с пакетами математических программ, содержащих функции прямого и обратного преобразований Лапласа.

Пример

Определим оригинал по изображению в виде дробно-рациональной функции

.

Используем разложение Хэвисайта для дробно-рациональной функции с одним нулевым полюсом. Тогда

.

Коэффициенты разложения имеют вид

.

Изображение в форме Хэвисайта имеет вид

.

Используем теорему о линейности и таблицу преобразований к каждому слагаемому, в результате получаем

.

График функции оригинала имеет вид, показанный на рис.

3.

Рис. 3

Кратко поясним алгоритм решения дифференциальных уравнений операторным методом на примере решения дифференциального уравнения 2 порядка в общем виде

,

где , , .

Применим теорему о дифференцировании для нахождения изображений производных

, .

Пусть , тогда

.

Получим операторное уравнение, используя теорему линейности

,

.

Решаем уравнение относительно ,

.

Найдем , используя переход к форме Хэвисайта (разложение Хэвисайта)

,

где , .

Особо следует обратить внимание на получение изображения производной ступенчатой единичной функции , которая определяется следующим образом:

Если использовать

,

то получается ошибочное решение, поэтому следует использовать называемые «левые» начальные условия

.

Справедливость этого можно легко проверить подстановкой решения в исходное дифференциальное уравнение.

 

Контрольные вопросы и задачи

  1. Какие ограничения накладываются на прямое и обратное преобразование Фурье?

  2. Как с помощью таблиц преобразования Лапласа получить частотный спектр реального сигнала – непериодической функции времени?

  3. Если изображение по Лапласу имеет вид дробно-рациональной функции, в какой форме ее удобнее представлять для получения оригинала, в форме Боде или в форме Хэвисайта?

  4. Определите оригинал следующего изображения по Лапласу

  5. .

    Ответ:

    .

  6. Определите оригинал следующего изображения по Лапласу

  7. .

    Ответ:

    .

  8. Найдите , решив дифференциальное уравнение

  9. ,

    где .

    Ответ:

    .

  10. Найдите , решив дифференциальное уравнение

  11. ,

    где .

    Ответ:

    .

Современную технику связи невозможно представить без спектрального анализа. Представление сигналов в частотной области необходимо как для анализа их характеристик, так и для анализа блоков и узлов приемопередатчиков систем радиосвязи. Для преобразования сигналов в частотную область применяется прямое преобразование Фурье. Обобщенная формула прямого преобразования Фурье записывается следующим образом:

     (1)

Как видно из этой формулы для частотного анализа производится вычисление корреляционной зависимости между сигналом, представленным во временной области и комплексной экспонентой с заданной частотой. При этом по формуле Эйлера комплексная экспонента разлагается на реальную и мнимую часть:

     (2)

Сигнал, представленный в частотной области можно снова перевести во временное представление при помощи обратного преобразования Фурье.

Обобщенная формула обратного преобразования Фурье записывается следующим образом:

     (3)

В формуле прямого преобразования Фурье используется интегрирование по времени от минус бесконечности до бесконечности. Естественно это является математической абстракцией. В реальных условиях мы можем провести интегрирование от данного момента времени, который мы можем обозначить за 0, до момента времени T. Формула прямого преобразования Фурье при этом будет преобразована к следующему виду:

     (4)

В результате существенно меняются свойства преобразования Фурье. Спектр сигнала вместо непрерывной функции становится дискретным рядом значений. Теперь минимальной частотой и одновременно шагом частотных значений спектра сигнала становится:

,      (5)

Только функции sin и cos c частотами k/T будут взаимно ортогональны, а это является непременным условием преобразования Фурье. Набор первых функций разложения в ряд Фурье приведен на рисунке 1. При этом длительность функций совпадает с длительностью анализа T.


Рисунок 1. Функции разложения в ряд Фурье

Теперь спектр сигнала будет выглядеть так, как это показано на рисунке 2.


Рисунок 2. Спектр функции x(t) при анализе на ограниченном интервале времени

В данном случае формула вычисления прямого преобразования Фурье (4) преобразуется к следующему виду:

     (6)

Формула обратного преобразования Фурье для случая определения спектра на ограниченном отрезке времени будет выглядеть следующим образом:

     (7)

Подобным образом можно определить формулу прямого преобразования Фурье для цифровых отсчетов сигнала.

Учитывая, что вместо непрерывного сигнала используются его цифровые отсчеты, в выражении (6) интеграл заменяется на сумму. В данном случае длительность анализируемого сигнала определяется количеством цифровых отсчетов N. Преобразование Фурье для цифровых отсчетов сигнала называется дискретным преобразованием Фурье и записывается следующим образом:

     (8)

Теперь рассмотрим как изменились свойства дискретного преобразования Фурье (ДПФ) по сравнению с прямым преобразованием Фурье на ограниченном интервале времени. Когда мы рассматривали дискретизацию аналогового сигнала, мы выяснили, что спектр входного сигнала должен быть ограничен по частоте. Это требование ограничивает количество дискретных составляющих спектра сигнала. Первоначально может показаться, что мы можем ограничить спектр сигнала частотой fд/2, что соответствует количеству частотных составляющих K = N/2. Однако это не так. Несмотря на то, что спектр сигнала для действительных отсчетов сигнала для положительных частот и отрицательных частот симметричен относительно 0, отрицательные частоты могут потребоваться для некоторых алгоритмов работы со спектрами, например, для алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Еще больше отличие получается при выполнении дискретного преобразования Фурье над комплексными отсчетами входного сигнала. В результате для полного описания спектра цифрового сигнала требуется N частотных отсчетов (k = 0, …, N/2).

Литература:

Вместе со статьей «Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)» читают:

Быстрое преобразование Фурье
http://digteh.ru/dsp/FFT/

Преобразование Лапласа
http://digteh.ru/dsp/Laplas/

Z–преобразование
http://digteh.ru/dsp/Z/

Дискретные цепи
http://digteh.ru/dsp/DiscrNet/

Интегральные преобразования Фурье

Сигналы связи всегда ограничены во времени и поэтому не являются периодическими. Среди непериодических сигналов наибольший интерес представляют одиночные импульсы (ОИ). ОИ можно рассматривать как предельный случай периодической последовательности импульсов (ППИ) длительностью при бесконечно большом периоде их повторения .

Рисунок 6.1 – ППИ и ОИ.

 

 

Непериодический сигнал может быть представлен суммой бесконечно большого числа бесконечно близких по частоте колебаний с исчезающе малыми амплитудами.

Спектр ОИ является непрерывным и вводится интегралами Фурье:

(1) — прямое преобразование Фурье. Позволяет аналитически отыскать спектральную функцию по заданной форме сигнала;

(2) — обратное преобразование Фурье. Позволяет аналитически отыскать форму по заданной спектральной функции сигнала.

Комплексная форма интегрального преобразования Фурье (2) дает двустороннее спектральное представление (имеющее отрицательные частоты) непериодического сигнала в виде суммы гармонических колебаний с бесконечно малыми комплексными амплитудами , частоты которых непрерывно заполняют всю ось частот.

— комплексная спектральная плотность сигнала – комплексная функция частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе элементарных гармоник.

Модуль спектральной плотности называется спектральной плотностью амплитуд. Его можно рассматривать как АЧХ сплошного спектра непериодического сигнала.

Аргумент спектральной плотности называется спектральной плотностью фаз. Его можно рассматривать как ФЧХ сплошного спектра непериодического сигнала.

Преобразуем формулу (2):

Тригонометрическая форма интегрального преобразования Фурье дает одностороннее спектральное представление (не имеющее отрицательных частот) непериодического сигнала:

.

Предыдущая234567891011121314151617Следующая


Дата добавления: 2016-01-07; просмотров: 307;


ПОСМОТРЕТЬ ЕЩЕ:

Добавить комментарий

Закрыть меню