Великая теорема Ферма • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Великая теорема Ферма

Сообщения: 3
#29 Дек 2017 12:03:58
SE
Вели́кая теоре́ма Ферма́ (или Последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется просто, на «школьном» арифметическом уровне, однако доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

Теорема утверждает, что для любого натурального числа уравнение: не имеет решений в целых ненулевых числах .

Для случая эту теорему в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Ферма приводит только доказательство, как решение задачи, сводимой к четвёртой степени теоремы , в 45-м комментарии к «Арифметике» Диофанта и в письме к Каркави (август 1659 года). Кроме этого, Ферма включил случай в список задач, решаемых методом бесконечного спуска.

Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая , Дирихле и Лежандр в 1825 — для , Ламе — для . Куммер показал, что теорема верна для всех простых , меньших 100, за возможным исключением так называемых иррегулярных простых 37, 59, 67.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Тем не менее эти усилия привели к получению многих важных результатов современной теории чисел. Давид Гильберт в своём докладе «Математические проблемы» на II Международном конгрессе математиков (1900) отметил, что поиск доказательства для этой, казалось бы, малозначимой теоремы, привёл к глубоким результатам в теории чисел. В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 тыс. немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение при может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Немецкий математик Герхард Фрай предположил, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры. Это предположение было доказано Кеном Рибетом.

Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics».

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после семи лет работы), но в нём вскоре был обнаружен серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить. В 1995 году был опубликован завершающий вариант. В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию.

Колин Мак-Ларти отметил, что, возможно, доказательство Уайлса удастся упростить, чтобы не предполагать существования так называемых «больших кардиналов».

Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику), а также сложность единственного известного доказательства (или неведение о его существовании), вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое, доказательство. Людей, пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами» или «ферматиками». Ферматисты зачастую не владеют основами математической культуры и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощрённые «доказательства», в которых трудно найти ошибку.

Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал «Квант», публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил её следующей припиской: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут.»

Немецкому математику Эдмунду Ландау очень докучали «ферматисты».

Чтобы не отвлекаться от основной работы, он заказал несколько сот бланков с шаблонным текстом, сообщающим, что на определённой строке на некоторой странице находится ошибка, при этом находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.

Примечательно, что отдельные ферматисты добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной прессе, которая раздувает их значение до научной сенсации.

Впрочем, иногда такие публикации появляются и в уважаемых научных изданиях, как правило, с последующими опровержениями.

#26 Янв 2018 12:04:36
Maxim881
Вот всё бы только доказывали,их бы силы,да в нормальную науку,например,на борьбу с раком,чтоб там решения искали годами,вот бы настоящая польза была,чем теоремки какие-то доказывать сидеть!

#18 Фев 2018 14:27:04
Николай
думается, что и доказательство Уайлса из той же категории- ошипки на странице -цать…
Сообщения: 3
Только зарегистрированные пользователи могут создавать сообщения.
Вход, Регистрация.
Около 10 лет назад, я доказал теорему, которая известна под названием большой теоремой Ферма. Недавно, по случаю, я в Интернете упомянул об этом. Конечно попросили меня представить доказательство. Несколько дней подряд я к своему удивлению не мог вспомнить доказательство, и даже близко не подошел к нему, а записей не сохранилось, кроме листка с одной формулой, которая уже являлась результатом. И надо сказать это очень удивило меня. Однако, я точно помнил, что доказательство построено на том, что при выводе получалось иррациональное выражение, помня об этом, я пришел к еще более простому выводу, и надо сказать, что Ферма именно этот вывод имел в виду, говоря что он удивительный (тем более, что раздумывал он в это время над решением геометрических задач). Вот краткая предыстория… А далее вывод: Доказать надо следующее, нет целочисленных a,b,c, для которых выполняется формула —
(1) при «n» больше 2. Изобразим треугольник, который соответствует этому выражению, рисунок 1.
Такой треугольник остроугольный, то есть каждый угол, при пересечении двух сторон острый, это свойство выполняется для всякого произвольного треугольника, который соответствует формуле (1). Положим, что сторона «c» у нас задана некоторым числом, а стороны «a», и «b», меняются. Нам достаточно доказать, что при целой «c», нет двух целых «a», и «b». Мы нарисуем несколько треугольников, соответствующих установленными нами условиями, — рисунок 2(масштаб не соблюден)
Мы можем нарисовать бесчисленное число треугольников, основанием которых служит сторона «c», и которые удовлетворяют условию. При этом геометрическим местом вершин таких треугольников будет служить кривая, похожая на эллипс. На рисунке 2 показаны три треугольника. Мы можем построить на основании «С» два треугольника, таким образом, что один повернут на 180 градусов, по отношению к другому. Рисунок 3
И рассмотрев, эту фигуру, мы видим, что у нас получился параллелограмм , Стороны В, и В, стороны А, и А, взаимно параллельны, соответствующие углы равны. Равны и стороны А=А, В=В. В этом параллелограмме есть две диагонали, диагональ «С», и диагональ «D». Все множество решений нашего уравнения будет находится в области, которая ограничена углом поворота диагонали «D», по отношению к диагонали «С», от 0, до 90 градусов. И вершины нашего параллелограмма при этом скользят по некоторой кривой, с видом эллипса. Таким образом, мы приходим к выводу, что для двух одинаковых и сложенных зеркальным образом треугольников, подчиняющихся уравнению
действительны формулы параллелограмма. А именно —
где «С», и «D» — диагонали параллелограмма, а «a» и «b», стороны его. Исходя из нашей установки, то есть сторона «С» задана постоянной, и для нее происходит поиск переменных «a», и «b», таких, чтобы выполнялось уравнение
мы видим, что изменяются стороны при изменении диагонали «D». То есть мы можем проследить, как меняется сумма квадратов сторон —
в параллелограмме, поэтому мы зададим границы изменения диагонали «D», и считаем что достаточно рассмотреть изменение суммы. Построим ромб, в котором выполняются и формулы параллелограмма, зададим границы изменения диагонали «D», и будем иметь в виду, что стороны нашего ромба не тождественны сторонам треугольника, соответствующего условию
но сумма сторон
одинакова, так как основание «С» задано постоянным, а диагональ «D» имеет то же самое значение, которое она имеет и в исходном треугольнике.

Рисунок 4

Рисунок 5
То есть, мы получаем ромб, который имеет такие же диагонали, как и у параллелограмма, полученного сложением двух исходных треугольников, отвечающих формуле
Определяем границы изменения D, в исходном случае, при С постоянной, а переменных «a», «b». Рисунок 6
На рисунке 6, слева нарисованы треугольники, соответствующие исходной формуле, но с разными сторонами «a» , и «b». С правой стороны рисунка 6, нарисованы преобразованные треугольники, в которых 2 стороны равны, но С = с, и высота треугольника, изображенного справа, равна медиане треугольника, изображенного слева. Что соответствует равенству диагоналей параллелограмма и ромба, что наглядно видно из рисунка 5. Для параллелограмма и ромба справедлива формула —
А значит, выполняется равенство
так как диагонали обоих фигур равны. Здесь «A» и «B» — стороны ромба, «a» и «b» — стороны треугольника, соответствующего исходной формуле(1). Очевидно, что величина диагонали D, изменяется в пределах от максимального значения, при равенстве a , и b , и минимального значения — при равенстве D=C. Стороны треугольника «1», на рисунке 6 подчиняются зависимости
где с — основание, а , b — стороны. При равенстве диагоналей, что соответствует треугольнику, который ниже «3», и вершина которого находится на окружности, стороны находятся в зависимости
так как треугольник прямоугольный, и С его гипотенуза (рисунок 6 справа). Если С задано постоянной, и стороны треугольника равны, то высота треугольника зависит от степени, в которую возведено это выражение. То есть , не соблюдая пропорций, мы можем сказать, что треугольнику «3», соответствует выражение например
треугольнику «2»,
и так далее, до нашей заданной степени «n», при этом треугольник самый высокий. Значит, при преобразовании треугольника заданного формулой (1), в равнобедренный треугольник степень изменяется(уменьшается), если задавать значения сторон в виде
то есть, наш треугольник вида
при таком преобразовании превращается в треугольник вида
при этом «m» меньше «n». Но для дальнейших доказательств это не важно. Рассматривая преобразованный треугольник, в котором стороны равны
отсюда
рисунок 4. имеем:
где h- высота этого преобразованного равнобедренного треугольника. То есть
исходя из условия,
или иначе
. Исходя из формулы
выводим
то есть диагонали D и С, взаимно иррациональны, то есть для нами заданных условий —
одна из диагоналей параллелограмма будет рациональное число, другая иррациональное, так как диагонали исходного параллелограмма и диагонали рассматриваемого ромба равны. Но подставив это выражение в формулу для параллелограмма,
мы получим
то есть сумма квадратов сторон параллелограмма — иррациональное число, и оно будет иррациональным, при всех n больших 2. Значит не существует тройки целых чисел, соответствующих уравнению
при n больше 2. Но для полноты доказательства необходимо рассмотреть случай, при котором степень «m» иррациональное число, такого вида, при котором
рациональное число, например
и тогда наше
и не очевидна иррациональность выражения. Преобразуем формулу
перенесем , и извлечем квадратный корень,
Мы разбираем вариант, при котором
— рациональное число, потому, что «m» иррациональна, но при этом очевидна новая иррациональная величина
так как С — целое число, то выражение
должно содержать одним из множителей иррациональность вида
иначе С иррациональное число, но при возведении
в квадрат мы получаем сумму квадратов сторон, и при этом иррациональность, входящая в выражение —
превращается в 2, то есть сумма квадратов сторон треугольника четное число, значит обе стороны или четные, или нечетные.

По основным подходам к доказательству теоремы, доказано, что величины «a» и «b», должны быть взаимно простыми и одна из величин четная, другая нечетная. А четность суммы квадратов противоречит этому условию, значит двух целых «a» и «b», в этом случае так же не существует, при целочисленном значении С. Теорема доказана.

Ущеко Вячеслав 1 Марта 2004 года
Исправлено и дополнено 4 Марта 2004 года
ДОПОЛНЕНИЕ
Замечу, что данная формула не была рассмотрена полностью. Из нее вытекает, что либо диагонали параллелограмма взаимно иррациональны, и значит сумма квадратов чисел «а», и «в», есть иррациональность, что и означает, отсутствие решения в целых числах. Либо сама степень «m», есть какое то иррациональное, и не целое число, что противоречит условиям задачи, где степень должна быть целым числом. Данное отношение становится рациональным только при степени m=2. Значит при показателе степени, равным 2, — решения в целых числах существуют, при степенях целых, больших 2, — этих решений нет. Это не просто доказательство утверждения Ферма, — это уравнение, показывает связь величины диагоналей в параллелограмме, построенном по правилам –
То есть, дальнейшего рассмотрения различных вариантов не требовалось совсем.
Ущеко Вячеслав, февраль 2010 года.
Web-семинар: Изменение скорости света и нобелевские премии за интерпретации Дата: 09.02.2013; Время: 17:00 (UTC+4); Ссылка на вебинар: WebEx; Номер вэбинара: 194663022;
ЗДЕСЬ ТЕОРИЯ СЖАТИЯ ВСЕЛЕННОЙ
1. Общие построения.

Малая теорема Ферма

Теорема 1. Если p— простое число и a− целое число, не делящееся на p, то a p−1−1 делится на p, т.е.

a p−11 (mod p). (1)

Для доказательства теоремы 1 потребуется следующая лемма.

Лемма. Для любого простого числа p и целого числа k не кратного p, произведение k и чисел 1, 2, 3, …, p−1:

k·1, k·2, k·3, …, k·(p−1)

при делении на p в остатке дают те же самые числа 1, 2, 3, …, p−1, возможно записанные в некотором другом порядке.

Доказательство леммы. Произведение числа k с любым из чисел 1, 2, 3, …, p−1 не делится на p. Следовательно, при делении k·1, k·2, k·3, …, k·(p−1) на p не может быть нулевой остаток.

Докажем, что все остатки разные. Предположим, обратное.

Пусть произведения ka и kb при делении на p дают одинаковые остатки, тогда ka−kb=k(a−b) делится на p. Но это невозможно, поскольку a−b не делится на p (т.к. |a−b|< p) . Значит все остатки разные. Существуют всего p−1 различных ненулевых остатков от деления на p и все они меньше p. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Согласно доказанной выше лемме, остатки от деления чисел a, 2a, 3a, …, (p−1)a совпадают с числами 1,2,3, …, p−1 с точностью до перестановки. Тогда

a·2a·3a … (p−1)a ≡ 1·2·3 … (p−1) (mod p).

Отсюда

a p−1(p−1)! ≡ (p−1)! (mod p). (2)

Из выражения (2) следует, что

a p−1(p−1)! − (p−1)! = (a p−1−1)(p−1)! (3)

делится на p. Так как все сомножители 1, 2, 3, …, p−1 выражения (p−1)! взаимно простые с p, то a p−1−1 делится на p или можно записать:

a p−1 ≡ 1 (mod p).  

Теорема доказана.

Альтернативная формулировка малой теоремы Ферма отличается тем, что не требует, чтобы a не делилось на p.

Теорема 2. Если p — простое число, то для каждого целого числа a

a pa (mod p). (4)

Иными словами, если p — простое число, то для каждого целого числа a, a pa делиться на p.

Доказательство теоремы. Если a делится на p, то a pa=a(a p−11) делится на p. Выражение (4) эквивалентна выражению a·a p−1 ≡ 1·a (mod p). Если же a не делится на p, то наибольший общий делитель чисел a и p равно 1. Тогда по утверждению 5 статьи «Сравнение чисел по модулю» выражение a·a p−1 ≡ 1·a (mod p) эквивалента выражению a p−1 ≡ 1 (mod p).

Добавить комментарий

Закрыть меню