Троичная система счисления

страница 1

Троичная система счисления

Троичная система счисления – позиционная система счисления с основанием 3. Троичная система счисления существует в двух вариантах: несимметричная (цифры 0, 1, 2) и симметричная (уравновешенная) (цифры -1, 0, 1).

Позиционная симметричная (уравновешенная) троичная система счисления была предложена математиком Леонардо Пизано Фибоначчи (1170 – 1228) для решения «задачи о гирях».

В задаче шла речь о бедном торговце, который с помощью четырех камней на рычажных чашечных весах совершенно правильно взвешивал предметы массой 1, 2, …, 40 кг. Для этого он использовал камни весом 1, 3, 9 и 27 кг.

Пусть груз, который надо взвесить, весит А кг. Это число можно представить в троичной системе:

— где коэффициенты a0, a1, , anмогут принимать значения 0, 1 или 2.

Очевидно, что .

Введем «отрицательную цифру «-1» и обозначим ее . Тогда последнее равенство можно записать: .

Следовательно, любое целое число можно записать в троичной уравновешенной системе счисления с помощью цифр 0, 1 и , заменив в многочленной форме представления числа цифру 2 на соответствующую разность.

где b0,b1, , bnмогут принимать значения 0, 1 или .

Например, представим число 100 в несимметричной и симметричной системе счисления:

Итак, чтобы уравновесить груз в кг на чашечных весах, нужно положить его на первую чашу весов, а гирю в 1 кг поставить:

— на вторую чашу, если ,

— или на первую чашу весов, если ,

— или не использовать эту гирю, если .

Далее, гиря весом в 3 кг ставится:

— на вторую чашу, если ,

— или на первую чашу весов, если ,

— или не использовать эту гирю, если .

И так далее. Расставив гирю по такому принципу, можно уравновесить любой груз. Если величина груза не была известна, то мы подбирает такое расположение гирь на весах, которое уравновешивает этот груз, и тем самым определяем и массу груза.

Представление отрицательных чисел

Наличие положительной и отрицательной цифр позволяет непосредственно представлять как положительные, так и отрицательные числа. При этом нет необходимости вводить дополнительный код для выполнения арифметических операций (см. лекцию о машинном представлении числовых данных). Знак числа в троичной уравновешенной системе счисления определяется знаком старшей цифры числа: если она положительная, то и число положительно; если отрицательная, то и число отрицательно. Например,

– число положительное.

– число отрицательное.

Очевидно, что для изменения знака числа надо изменить знаки всех его цифр (то есть инвертировать его код).

Например:

Можно сделать вывод, что при вычислениях на основе троичной уравновешенной системы отпадает необходимость в операции «вычитания».

Операция сложения всякой цифры в этой системе с нулем дает в результате эту же цифру. Сложение 1 с дает ноль. И только сумма двух единиц или двух формируется путем переноса в следующий разряд цифры того же знака, что и слагаемые, и установки в текущем разряде цифры противоположного знака. Пример:

Приведем пример сложения чисел с разными знаками:

Перевод целых десятичных чисел в троичную уравновешенную систему счисления

Для перевода из десятичной системы в троичную уравновешенную, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

  1. выполняем деление в десятичной системе исходное число на 3;
  2. если остаток от деления равен 2, записываем его как , а к результату от деления добавляем 1;
  3. если результат меньше 2, начинаем записывать результат перевода, п.5;
  4. делим результат на 3, затем и повторяем действия описанные в п.2;
  5. переписываем полученные значения остатков (снизу-вверх), начиная с последнего результата деления.

Пример.

Переведем по предложенному правилу число в троичную симметричную систему счисления.

Итак,

Троичная уравновешенная система счисления применялась в ЭВМ «Сетунь», разработанной в 1958 году в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова под руководством Николая Петровича Брусенцова.

В основе так называемого троичного принципа Брусенцова были положены три идеи:

  • Троичная логика,
  • Троичная симметричная система счисления,
  • Троичный элемент памяти (троичный триггер).

Троичная цифровая техника базируется на трехзначных сигналах и трехстабильных элементах памяти (тритах). Объекты, принимающие более чем три значения, реализуются в ней как совокупности тритов. Операции над этими объектами осуществляются как последовательности операций трехзначной логики. Аналогом байта служит шестерка тритов — трайт. Двузначные объекты и операции над ними содержатся в троичной технике как вырождения тритов и операций трехзначной логики.
страница 1

Смотрите также:

Троичная система счисления

42.83kb. 1 стр.

Из всех позиционных систем счисления наибольшее распространение, за исключением десятичной, получила двоичная система счисления. В первую очередь это связано с надёжностью представления информации, т е

127.86kb. 1 стр.

добавлено: 11 Jul 2008 19:33
редактировано: 8 Sep 2010 17:16

Содержание [скрыть][показать]

Троичная сбалансированная система счисления

Троичная сбалансированная система счисления — это нестандартная позиционная система счисления. Основание системы равно , однако она отличается от обычной троичной системы тем, что цифрами являются . Поскольку использовать для одной цифры очень неудобно, то обычно принимают какое-то специальное обозначение. Условимся здесь обозначать минус единицу буквой .

Например, число в троичной сбалансированной системе записывается как , а число — как . Троичная сбалансированная система счисления позволяет записывать отрицательные числа без записи отдельного знака «минус». Троичная сбалансированная система позволяет дробные числа (например, записывается как ).

Алгоритм перевода

Научимся переводить числа в троичную сбалансированную систему.

Для этого надо сначала перевести число в троичную систему.

Ясно, что теперь нам надо избавиться от цифр , для чего заметим, что , т.е. мы можем заменить двойку в текущем разряде на , при этом увеличив следующий (т.е.

слева от него в естественной записи) разряд на . Если мы будем двигаться по записи справа налево и выполнять вышеописанную операцию (при этом в каких-то разрядах может происходить переполнение больше , в таком случае, естественно, «сбрасываем» лишние тройки в старший разряд), то придём к троичной сбалансированной записи. Как нетрудно убедиться, то же самое правило верно и для дробных чисел.

Более изящно вышеописанную процедуру можно описать так. Мы берём число в троичной системе счисления, прибавляем к нему бесконечное число , а затем от каждого разряда результата отнимаем единицу (уже безо всяких переносов).

Зная теперь алгоритм перевода из обычной троичной системы в сбалансированную, легко можно реализовать операции сложения, вычитания и деления — просто сводя их к соответствующим операциям над троичными несбалансированными числами.

 

 

 

 


Двоичная логика (алгебра логики, бинарная логика) — логика, которая основана на двух высказываниях. Высказывания могут быть только ложными (логический ноль) или истинными (логическая единица). Получила широкое распространение в цифровой технике из-за простоты реализации, где логику разделяют на положительную (истина  = 1, ложь = 0) и отрицательную (истина = 0, ложь = 1).

История

Своим существованием двоичная логика обязана британскому математику

Джорджу Булю, который первый высказал идею применения символов к логике в своей статье «Математический анализ логики» в 1847 г. Единицей Буль обозначал универсум мыслимых объектов, буквенными символами — выборки из него, связанные с обычными прилагательными и существительными (так, если x=»кучерявые», а y=»коровы», последовательный выбор x и y из единицы даст класс кучерявых коров). Буль показал, что символика такого рода подчиняется тем же законам, что и алгебраическая, а это значит, что их можно складывать, умножать вычитать и делить. Далее, развитием занимались Чарльз ПирсБертран Рассел и многие другие.

Основные операции

Базовые операции, которые лежат в основе двоичной логики — это инверсия (отрицание), конъюнкция (логическое умножение) и дизъюнкция (логическое сложение), а также константы логический ноль и логическая единица.

Инверсия (отрицание) — «НЕ», «НЕТ», «¬».

Конъюнкция (логическое умножение) — «^», «И», «&».

Дизъюнкция (логическое сложение) — «ИЛИ», «|», «V».

Применение

Двоичная логика широко используется в конструировании цифровой техники. В вычислительной технике двоичная логика описывает работу многих устройств. Например, триггеры, сумматоры и переключатели.

Кроме того, связь между двоичной логикой и ЭВМ лежит в системе счисления (двоичная).

Используемые источники

1. cyclowiki.org/wiki

2. studopedia.ru

Голубничий С. А.

.

.

Добавить комментарий

Закрыть меню