Факториал в си

Главная > ф >



Таблица факториалов (до 50).

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.
Например: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Принято: 0! = 1.

В таблице приведены значения факториалов для чисел от 0 до 50.

число факториал числа
0! 1
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5040
8! 40320
9! 362880
10! 3628800
11! 39916800
12! 479001600
13! 6227020800
14! 87178291200
15! 1307674368000
16! 20922789888000
17! 355687428096000
18! 6402373705728000
19! 121645100408832000
20! 2432902008176640000
21! 51090942171709440000
22! 1124000727777607680000
23! 25852016738884976640000
24! 620448401733239439360000
25! 15511210043330985984000000
26! 403291461126605635584000000
27! 10888869450418352160768000000
28! 304888344611713860501504000000
29! 8841761993739701954543616000000
30! 265252859812191058636308480000000
31! 8222838654177922817725562880000000
32! 263130836933693530167218012160000000
33! 8683317618811886495518194401280000000
34! 295232799039604140847618609643520000000
35! 10333147966386144929666651337523200000000
36! 371993326789901217467999448150835200000000
37! 13763753091226345046315979581580902400000000
38! 523022617466601111760007224100074291200000000
39! 20397882081197443358640281739902897356800000000
40! 815915283247897734345611269596115894272000000000
41! 33452526613163807108170062053440751665152000000000
42! 1405006117752879898543142606244511569936384000000000
43! 60415263063373835637355132068513997507264512000000000
44! 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000
45! 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000
46! 5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000
47! 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
48! 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000
49! 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000
50! 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

 



 

comments powered by HyperComments


  • Факториалом числа \(n\) называется произведение всех натуральных чисел, меньше или равныx \(n\). Факториал обозначается \(n!\)
    \(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \left( {n — 1} \right) \cdot n\)

  • Факториал нуля по определению равен \(1\).
    \(0! = 1\)

  • Значения факториалов чисел от \(1\) до \(10\) 

  • \(n\) \(n!\) \(n\) \(n!\)
    1 1 6 720
    2 2 7 5040
    3 6 8 40320
    4 24 9 362880
    5 120 10 3628800
  • Рекуррентное соотношение
    \(\left( {n + 1} \right)! = n! \cdot \left( {n + 1} \right)\)

  • Обобщение факториала для неотрицательных действительных чисел
    Факториал числа \(x\) выражается через гамма-функцию по формуле
    \(x!

    = \Gamma \left( {x + 1} \right)\),
    которая позволяет вычислить факториал для любых действительных чисел \(x \ge 0\).

  • Скорость возрастания
    Факториал возрастает быстрее, чем экспоненциальная функция. Неравенство \(n! > \exp \left( n \right)\) выполняется при всех \(n \ge 6\). При \(n \ge 1\) справедливо соотношение
    \(n \le n! \le {n^n}\).

  • Формула Стирлинга
    При больших \(n\) значение факториала можно определить с помощью асимптотической формулы Стирлинга:
    \(n! \approx {n^n}\sqrt {2\pi n} \,\exp \left( { — n} \right)\left[ {1 + \large\frac{1}{{12n}}\normalsize + \large\frac{1}{{288{n^2}}}\normalsize — \large\frac{{139}}{{51840{n^3}}}\normalsize — \ldots } \right]\).

    Данная формула с учетом лишь первого члена в разложении принимает вид
    \(n! \approx {n^n}\sqrt {2\pi n} \,\exp \left( { — n} \right)\).

  • Двойной факториал
    Двойной факториал представляет собой произведение всех натуральных чисел от \(1\) до \(n\) той же самой четности, что и число \(n\). Двойной факториал обозначается как \(n!!\)
    \(\left( {2k} \right)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \left( {2k — 2} \right) \cdot 2k\)
    \(\left( {2k + 1} \right)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \left( {2k — 1} \right) \cdot \left( {2k + 1} \right)\)

  • Как решать уравнения с факториалами

    Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Факториалом n! называется произведение n последовательных натуральных чисел, начиная с единицы:

    \[n! = 1\cdot2\cdot3(n-1) \cdot n\]

    Факториал нуля равен единице:

    \[0!

    = 1\]

    Так же используются факториалы по четным и нечетным числам. Обозначаются они следующим образом:

    \[ (2n)!! = 2\cdot4\cdot6\ldots(2n — 2)( 2n) \] (1)

    \[ (2n + 1)!!\] — факториал по всем нечетным числам до \[(2n +1) \]

    Факториал — частое явление в комбинаторике, поэтому знание их способов решения очень важно.

    Так же читайте нашу статью «Решить уравнение с дробями онлайн решателем»

    Допустим, дано уравнение с факториалом следующего вида:

    \[\frac{8!-6!}{55}\]

    Для решения данного дробного уравнения с факториалом необходимо вынести за пределы скобок 6!:

    \[\frac{8!-6!}{55} = \frac{6!(7\cdot8-1)}{55} = \frac{6!(56-1)}{55} = \frac{6!\cdot55}{55} = 6! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6 = 720\]

    Ответ: \[720\]

    Решим дробное уравнение с двойным факториалом следующего вида:

    \[\frac{7!-7!!}{47}\]

    Из вышеописанного равенства (1) следует:

    \[7! = 6!! \cdot7!! \]

    Соответственно получим:

    \[\frac{7!-7!!}{47} = \frac{6!!\cdot7!!-7!!)}{47} = \frac{7!!(6!!-1)}{47} = \frac{7!!(2\cdot4\cdot6-1)}{47} = \frac{7!!(48-1)}{47} = \frac{7!!(48-1)}{47} = \frac{7!!47}{47} = 7!! = 1\cdot3\cdot5\cdot7 = 105\]

    Ответ: \[105.\]

    Как видите, уравнения с факториалами довольно легко решаются с помощью несложных преобразований и арифметических операций, главное знать алгоритм их решения и формулы преобразования.

    Где можно решить уравнение с факториалом онлайн?

    Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

    Таблица факториалов

    1! 1
    2! 2
    3! 6
    4! 24
    5! 120
    6! 720
    7! 5 040
    8! 40 320
    9! 362 880
    10! 3 628 800
    11! 39 916 800
    12! 479 001 600
    13! 6 227 020 800
    14! 87 178 291 200
    15! 1 307 674 368 000
    16! 20 922 789 888 000
    17! 355 687 428 096 000
    18! 6 402 373 705 728 000
    19! 121 645 100 408 832 000
    20! 2 432 902 008 176 640 000
    21! 51 090 942 171 709 440 000
    22! 1 124 000 727 777 607 680 000
    23! 25 852 016 738
    884 976 640 000
    24! 620 448 401 733
    239 439 360 000
    25! 15 511 210 043
    330 985 984 000 000
    26! 403 291 461 126
    605 635 584 000 000
    27! 10 888 869 450 418
    352 160 768 000 000
    28! 304 888 344 611 713
    860 501 504 000 000
    29! 8 841 761 993 739 701
    954 543 616 000 000
    30! 265 252 859 812 191 058
    636 308 480 000 000

    — версия для печати


    Определение (что такое факториал)
    Факториал числа — результат последовательного умножения числа на все натуральные числа меньшие данного числа и большие единицы. Обозначается факториал восклицательным знаком после числа — «n!».
    Факториал натурального числа n можно также определить как рекуррентную функцию F (n). Определяется она следующим образом: F (0) = F (1) = 1; F (n) = n * F (n-1).
    Пример:
    7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5040
    Не стоит забывать
    По общепринятой договоренности 0! = 1 (факториал нуля равен единице). Этот факт важен, к примеру, для вычисления биномиальных коэффициентов.
    Полезный факт
    Факториал числа, функцию от натурального аргумента можно продолжить на все действительные числа с помощью т.н. Гамма-функции (важно отметить, что для этого требуется определенный математический аппарат). В таком случае, мы сможем посчитать факториал любого действительного числа. Например, факториал (или, Гамма-функция, что математически правильнее) числа Пи Π!

    приблизительно равен 2.28803779534. Факториал числа Эйлера, другого трансцендентного числа, Γ(e) ~ 1.567468255 (упрощенно, факториал числа e).

    Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.

    © Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

    Для любого натурального числа n произведение обозначается n! (читается «эн факториал»), т. е.

    Считается, что 0!=1.

    Пример 3.1. Вычислить

    .

    Решение. Так как и , то

    .

    Поскольку

    и ,

    То

    .

    Поэтому

    .

    Пример 3.2. Упростить выражение

    (n³1).

    Решение. Так как и , то

    .

    Пример 3.3. Решить уравнение

    , где n³1.

    Решение. Так как , то

    .

    Кроме того, . Итак, исходное уравнение равносильно уравнению

    .

    Если n=1, то уравнение примет вид

    ,

    Т. е. получается противоречие 0=1/6, следовательно, n=1 не является решением уравнения. Если n³2, то уравнение примет вид

    ,

    Т. е.

    . Отсюда получаем n1=2 и n2=3.

    Выражение n! означает, что перемножаются все натуральные числа подряд и наибольший из сомножителей равен n. Выражение n!! означает, что перемножаются натуральные числа через одно и наибольший сомножитель также равен n.

    Таким образом, если n чётное, то n!! есть произведение всех чётных чисел, не превышающих n (); если же n нечётное, то это произведение всех нечётных чисел, не превышающих n (). Аналогично, если после числа расположено три восклицательных знака, то перемножаются каждое третье число, а если четыре – каждое четвёртое. Например, .

    Упражнения

    3.1. Вычислить: а) , б) .

    Ответ: а) , б) .

    3.2. Упростить: а) , б)

    Ответ: а) , б) m+2.

    3.3. Найти все натуральные n, удовлетворяющие условию .

    Ответ: 8.

    3.4. В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места в результате забега?

    Ответ: .

    Добавить комментарий

    Закрыть меню