Что такое мантисса числа

Что такое мантисса

Мантиссе отведена значимая роль в математике, так как она является дробной частью логарифма числа.

8. Представление чисел в форме с плавающей точкой. Мантисса числа. Характеристика числа.

Подробнее разобраться в этом поможет понимание значения мантиссы и ее формы.

Значение мантиссы

Мантисса — одна из частей числа, которое представлено форматом с плавающей точкой. Второй частью этого числа является показатель степени. По сути, это дробная составляющая логарифма.Значение мантиссы в том, что по ней находится число, которое является источником логарифма. Целая часть показывает только степень десяти или тривиальный множитель, тогда как сама мантисса показывает, какое именно число должно быть умножено на тривиальный множитель, который имеет вид 0,001 или 100.Экспоненциальная запись представляет это в следующем виде: N = M*n^p, где мантиссой является M. Для примера можно взять число 3600 и представить его в экспоненциальной записи. Получится следующее: 3600 = 3,6*10^3. Учитывая вышесказанное, мантиссой будет являться число 3,6.Важно понимать, что число, имеющее плавающую запятую, также имеет изменяющуюся абсолютную точность и фиксированную относительную точность. Использование чисел с плавающей запятой лучше, чем представление чисел с фиксированной запятой, так как есть возможность применения большого диапазона значений, тогда как относительная точность не меняется. Это поможет понять следующий пример: форма, имеющая фиксированную запятую, позволяет представить число, которое занимает 2 разряда после запятой и 8 разрядов в целой части, в виде 8765,43; 123456,78 и так далее. Если же брать формат, имеющий плавающую запятую, можно произвести следующую запись: 1,2345678; 0,000012345678 и так далее. Однако для того, чтобы так сделать, важно иметь двухразрядное дополнительное поле, позволяющее записать показатели степени 10, начиная от 0 и кончая 1610. Общее число разрядов составит 10, то есть 8+2.Мантисса, как для отрицательных, так и для положительных чисел, выражается в прямом коде. Различие в знаке будет отражено лишь в значении знакового разряда. Однако мантисса числа не может превышать единицы. Обычно точка в мантиссе располагается с левой стороны от старшего разряда. Для того, чтоб получить истинное значение числа, нужно умножить мантиссу на 16 в степени порядка. Порядок, полученный этим путем, называется характеристикой. Получается, что характеристика, которая отсчитывается от 64, будет всегда положительной.В нормальной записи мантисса числа — всегда правильная дробь. Ее запись в ячейку производится так же, как запись числа с запятой в ячейку машины. Запятая фиксируется перед первым разрядом цифрового вида.Мантисса числа, имеющая плавающую запятую, выражается шестнадцатеричными цифрами, при этом запятая располагается слева от самой высокой цифры мантиссы

Форма мантиссы

Есть две формы, позволяющие понять место применения мантиссы. Первая — нормальная форма числа. Эта форма, которая имеет мантиссу без учета знака на полуинтервале, то есть [0; 1) (0\le a

© CompleteRepair.Ru

Запись и чтение десятичных дробей

Десятичная дробь отличается от обыкновенной дроби тем, что знаменатель у нее — это разрядная единица.

Например:

Десятичные дроби выделены из обыкновенных дробей в отдельный вид, что привело к собственным правилам сравнения, сложения, вычитания, умножения и деления этих дробей.

Представление вещественных чисел

В принципе, с десятичными дробями можно работать и по правилам обыкновенных дробей. Собственные правила преобразования десятичных дробей упрощают вычисления, а правила преобразования обыкновенных дробей в десятичные, и наоборот, служат связкой между этими видами дроби.

Запись и чтение десятичных дробей позволяет их записывать, сравнивать и производить действия над ними по правилам, очень похожим на правила действий с натуральными числами.

Впервые система десятичных дробей и действий над ними была изложена в XV в. самаркандским математиком и астрономом Джемшид ибн-Масудаль-Каши в книге «Ключ к искусству счета».

Целая часть десятичной дроби отделена от дробной части запятой, в некоторых странах (США) ставят точку. Если в десятичной дроби нет целой части, то перед запятой ставят число 0.

К дробной части десятичной дроби справа можно дописывать любое количество нулей, это величину дроби не изменяет. Дробная часть десятичной дроби читается по последнему значащему разряду.

Например:
0,3 — три десятых
0,75 — семьдесят пять сотых
0,000005 — пять миллионных.

Чтение целой части десятичной дроби такое же, как и натуральных чисел.

Например:
27,5 — двадцать семь…;
1,57 — одна…

После целой части десятичной дроби произносится слово «целых».

Например:
10.7 — десять целых семь десятых

0,67 — ноль целых шестьдесят семь сотых.

— это цифры дробной части. Дробная часть читается не по разрядам (в отличие от натуральных чисел), а целиком, поэтому дробная часть десятичной дроби определяется последним справа значащим разрядом. Разрядная система дробной части десятичной дроби несколько иная, чем у натуральных чисел.

  • 1-й разряд после занятой — разряд десятых
  • 2-й разряд после запятой — разряд сотых
  • 3-й разряд после запятой — разряд тысячных
  • 4-й разряд после запятой — разряд десятитысячных
  • 5-й разряд после запятой — разряд стотысячных
  • 6-й разряд после запятой — разряд миллионных
  • 7-й разряд после запятой — разряд десятимиллионных
  • 8-й разряд после запятой — разряд стомиллионных

В вычислениях чаще всего используются первые три разряда. Большая разрядность дробной части десятичных дробей используется только в специфических отраслях знаний, где вычисляются бесконечно малые величины.

Перевод десятичной дроби в смешанную дробь состоит н следующем: число, стоящее до запятой записать целой частью смешанной дроби; число, стоящее после запятой — числителем ее дробной части, а в знаменателе дробной части записать единицу со столькими нулями, сколько цифр стоит после запятой.

Например:

Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь — это вычисление частного отделения числителя дроби на знаменатель по правилам действий с десятичными дробями:

Но не все обыкновенные дроби можно перевести в десятичную дробь. Например:  — нет такого множителя, который с множителем 3 даст в произведении разрядную единицу.

Запись опубликована в рубрике Математика с метками десятичная, дробь. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Арифметические операции над двоичными числами с плавающей точкой

В современных ЭВМ числа с плавающей точкой хранятся в памяти машин, имея мантиссу и порядок (характеристику) в прямом коде и нормализованном виде. Все арифметические действия над этими числами выполняются так же, как это делается с ними, если они представлены в полулогарифмической форме (мантисса и десятичный порядок) в десятичной системе счисления. Порядки и мантиссы обрабатываются раздельно.

Сложение (вычитание). Операция сложения (вычитания) производится в следующей последовательности.

1. Слагаемые представляются в формате с плавающей точкой.

2. Находится разность порядков слагаемых путем их вычитания р = р1-р2.

3. Если разность порядков равна нулю, то это значит, что одноименные разряды мантисс имеют одинаковые веса (двоичный порядок). В противном случае должно проводиться выравнивание порядков.

4. Для выравнивания порядков порядок меньшего числа увеличивается на разность порядков р, а его мантисса сдвигается вправо на разность порядков р.

5. Порядок результата берется равным большему порядку.

6. Выравнивается разрядная сетка мантисс слагаемых путем дописывания незначащих нулей справа. Мантиссы слагаемых представляются в обратном или дополнительном модифицированном коде. Операция вычитания заменяется операцией сложения с отрицательным числом. Операция суммирования мантисс выполняется по правилам суммирования чисел в формате с фиксированной точкой.

6. Если мантисса результата не нормализована, то осуществляются ее нормализация и коррекция значений порядка.

Нормализация результата выполняется в двух случаях:

1) цифры в знаковых разрядах не совпадают;

2) цифры знакового разряда совпадают с цифрой старшего разряда мантиссы.

 

Если цифры знакового порядка совпадают с цифрой старшего разряда мантиссы, то мантисса сдвигается на один разряд влево, а порядок уменьшается на единицу.

Если цифры в знаковых разрядах не совпадают, то мантисса сдвигаетсяна один разряд вправо, а порядок увеличивается на на единицу.

7. Результат переводится в прямой код, к нему приписывается общий порядок слагаемых и выполняется округление мантиссы результата.

 

Пример 1. А10 =6,25, В10=20,5

 

1. Записываем числа в двоичном коде:

А2=110,01 В2=10100,1

 

2. Записываем числа в в формате с плавающей запятой

[А]пр = 0 011 0 11001

[В]пр= 0 101 0 101001

3. Сравниваем порядки:

рав=010

Разность порядков не равна нулю, производим выравнивание порядков и корректируем мантиссу

[А]пр = 0 101 0 0011001

[В]пр= 0 101 0 101001

4. Выравниваем разрядную сетку мантиссы:

[А]пр = 0 101 0 0011001

[В]пр= 0 101 0 1010010

5. Выполняем операцию сложения в дополнительном коде:

а]дп =00 0011001

+

в]дп =00 1010010

с]дп = 00 1101011

Мантисс не требует нормализации

6. Записываем результат в формате с плавающей запятой

0 101 0 1101011

7. Переводим результат в двоичный и десятичные коды

С2= 11010,11 С10=16+8+2+0,5+0,25=26,75

 

Пример 2. А10 =36,5, В10=32,0

2. Записываем числа в двоичном коде:

А2=100100,1 В2=100000,0

 

2. Записываем числа в в формате с плавающей запятой

[А]пр = 0 110 0 1001001

[В]пр= 0 110 0 100100

4. Сравниваем порядки:

рав=000

Разность порядков равна нулю, коррекция не требуется.

4. Выравниваем разрядную сетку мантиссы:

[А]пр = 0 110 0 1001001

[В]пр= 0 110 0 1000000

8. Выполняем операцию сложения в дополнительном коде:

а]дп =00 1001001

+

в]дп =00 1000000

с]дп = 01 0001001

Необходима нормализация мантиссы, так как цифры в знаковых разрядах не совпадают. Выполняем сдвиг мантиссы вправо на один разряд, а порядок увеличиваем на единицу.

рав=111 с]дп = 00 10001001

 

9.

мантисса числа

Записываем результат в формате с плавающей запятой

0 111 0 10001001

 

10. Переводим результат в двоичный и десятичные коды

С2= 1000100,1 С10=64+4+0,5=68,5

 

 

Пример 3. А10 =17,0, В10= -7,0

 

1. Записываем числа в двоичном коде:

А2=10001,0 В2=111,0

 

2. Записываем числа в в формате с плавающей запятой

[А]пр = 0 101 0 10001

[В]пр= 0 011 1 111

5. Сравниваем порядки:

рав=010

Разность порядков не равна нулю, требуется коррекция.

4. Выравниваем разрядную сетку мантиссы:

[А]пр = 0 101 0 10001

[В]пр= 0 101 1 00111

2. Выполняем операцию сложения в дополнительном коде:

а]дп =00 10001

+

в]дп =11 11001

с]дп = 00 01010

Необходима нормализация мантиссы, так как цифры в знаковых разрядах не совпадают. Выполняем сдвиг мантиссы влево на один разряд, а порядок уменьшаем на единицу.

рав=100 с]дп = 00 1010

3. Записываем результат в формате с плавающей запятой

0 100 0 1010

 

4. Переводим результат в двоичный и десятичные коды С2= 1010 С10=8+2=10


Дата добавления: 2016-10-17; просмотров: 554;


ПОСМОТРЕТЬ ЕЩЕ:

2.1.1. Нормализация вещественных чисел. Мантисса и порядок

Если при представлении целых чисел в компьютере oграничением может служить лишь величина записываемого числа, то при записи вещественного числа речь, в первую очередь, идет о точности его представления, то есть о количестве значащих цифр, которые удается сохранить в ограниченном числе разрядов.

Допустим, мы имеем калькулятор, в котором на экран дисплея для вывода чисел есть только 10 знакомест (включая знак числа и точку между целой и дробной частью действительного десятичного числа).

Что такое мантисса

Если нам необходимо выполнить действия со следующими числами

-6392000000;
-639,2;
-0,0000006392
,

то на дисплее нашего калькулятора удастся отобразить лишь второе из них (первое число занимает 13 знакомест, второе — 6 знакомест и третье — 12 знакомест), и, следовательно, задачу мы решить не сможем.

Однако эта задача может быть решена, если числа пpeдставить несколько иначе. Покажем, что искомый способ записи чисел в калькулятор таков:

-6.392Е+12; -6.392Е+02; -6.392Е-08,

где знак Е читается как «умножить на десять в степени».

Такая запись отражает нормализованную форму записи чисел.

Нормализованная запись отличного от нуля действительного числа — это запись вида а = ±m×Рq, где q — целое число (положительное, отрицательное или ноль), а m — правильная Р-ичная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю, т.е. 1/Р ≤ m < 1. При этом m называется мантиссой числа, qпорядком числа.

Заметим, что число ноль не может быть записано в нормализованной форме так, как она была определена. Поэтому относительно нормализованной записи нуля приходится прибегать к особым соглашениям.

Условимся, что запись нуля является нормализованной, если и мантисса, и порядок равны нулю.

Продолжение

Представление чисел с плавающей точкой

Предыдущая12345678910111213141516Следующая

 

Математическая запись числа две целых четыре сотых выглядит так 2,04 но возможна и такая запись 0,204×10, или такая 20,4×10-1, или такая 0,0204×102… Этот ряд можно продолжать сколь угодно долго. На что вы обратили внимание? — запятая перемещается («плавает») влево или вправо, и, чтобы не изменить значение числа, мы умножаем его на 10 в отрицательной или положительной степени.

Для представления вещественных чисел в памяти ЭВМ используется формат с плавающей точкой. При этом необходимо помнить, что система вещественных чисел представимых в ЭВМ является дискретной и конечной.

В общем случае любое число N, представляемое в форме с плавающей точкой, является произведением двух сомножителей: .

m — мы будем называть мантиссой числа (модуль целой части мантиссы изменяется в диапазоне от 1 до S-1 (включая эти числа), где S- основание системы счисления),

p — целочисленный порядок,

S ¾ основание системы счисления.

Различают нормализованную и экспоненциальную формы записи числа. Если мантисса является правильной дробью, у которой первая цифра после точки отлична от нуля , то число называется нормализованным.

При представлении числа в экспоненциальной форме обязательно присутствует целая часть, содержащая не более одной цифры отличной от нуля, фактически эта форма представления совпадает со стандартной математической формой записи числа.

Вещественное число в ПЭВМ представлено в экспоненциальной форме.

Следовательно, при представлении чисел с плавающей точкой необходимо записать в разрядной сетке ЭВМ со своими знаками мантиссу и порядок . Знак числа при этом совпадает со знаком мантиссы. Запишем число 314.6789 в экспоненциальной форме:314.6789= 3.1467890000E+2. Число разрядов, выделенных для изображения порядков, определяет диапазон представимых в ЭВМ чисел с плавающей точкой.

Кроме того, этот диапазон зависит также от основания S принятой системы счисления.

Значение произвольного числа вещественного типа представляется в ПЭВМ лишь с некоторой конечной точностью, которая зависит от внутреннего формата вещественного числа, точность представления чисел повышается с увеличением числа разрядов мантиссы.

Для того, чтобы упростить операции над порядками их сводят к действиям над целыми положительными числами путем использования так называемого смещенного порядка, который всегда положителен. смещенный порядок получается путем прибавления к порядку р некоторого целого положительного числа, значение которого зависит от конкретного формата данных.

Десятичная точка подразумевается перед левым (старшим) разрядом мантиссы, но при действиях с числом ее положение смещается влево или вправо в зависимости от двоичного порядка.

Рассмотрим представление чисел в разрядной сетке длиной 4 байта ( так называемая одинарная точность). Изобразим разрядную сетку, состоящую из 32 разрядов и посмотрим, как эти разряды распределены.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 31

знак мантиссы порядок мантисса

 

Пусть необходимо представить число –13,75 в разрядной сетке с одинарной точностью. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. перевести число в двоичную систему счисления;

2. представить его в экспоненциальной форме;

3. получить исходный порядок и мантиссу;

4. получить смещенный порядок.

 

1) 13.7510=1101.112

75/100=3/4=3/22=0.112

2) Представим двоичное число 1101.11 в экспоненциальной форме 1101.11=1.10111E+3.

3) Исходный порядок равен 3.

Следует отметить, что целая часть двоичного числа представленного в экспоненциальной форме, всегда равна 1, поэтому в целях экономии разрядов (а следовательно увеличения диапазона представления чисел)целая часть числа не записывается в разрядную сетку.

4) Вычислим смещенный порядок (в формате с одинарной точностью к исходному порядку добавляется число 127)

Pсм=3+127=130=128+2=27+2=100000002+102=1000 00102

Рсм=100000102

Мантисса=.101112

Знак числа положительный, следовательно, самый левый разряд равен 0.

0 10000010 10111000000000000000000

знак порядок мантисса

представим полученное число в шестнадцатеричной системе счисления

0100 0001 0101 1100 0000 0000 0000 0000

 

Итак, мы получили шестнадцатеричное число 415С0000.

Решим обратную задачу.

Значение переменной А Представлено в формате с плавающей точкой в шестнадцатеричной системе счисления А=ВЕ200000.

Что такое мантисса?

Тип переменной А-single для языка Паскаль. Найти десятичное значение переменной А.

Для решения обратной задачи необходимо выполнить следующие действия:

1) Перевести шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления.

2) Выделить знак мантиссы(знак мантиссы совпадает со знаком числа).

3) Выделить смещенный порядок.

4) Вычислить исходный порядок.

5) Записать число, не забыв указать его целую часть, в экспоненциальной форме.

6) Перевести число из экспоненциальной формы в обычную форму записи.

7) Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную.

Выполним перечисленные действия.

ВЕ200000=1011 1110 0010 0…0000

1 01111100 0100…0

знак порядок мантисса

 

Число отрицательное так как левый разряд равен 1.

Вычислим исходный порядок:

Р=Р-127=1111100-127=124-127=-3.

Запишем искомое число в экспоненциальной форме в двоичной системе счисления:

А=-1.01Е-3. Не забывайте указывать целую часть.

Представим искомое число в обычной форме записи в двоичной системе счисления:

А=-1.01Е-3=-0.001012=-0.2816=-0.15625.

Операция алгебраического сложения чисел, представленных в форме с плавающей точкой , производится несколько сложнее, чем для чисел, представленных в форме с фиксированной точкой. При выполнении ее сначала выравниваются порядки слагаемых, В результате сравнения порядков порядок меньшего по модулю числа принимается равным порядку большего, а его мантисса сдвигается вправо на число шестнадцатеричных разрядов, равное разности порядков.

В процессе сдвига мантиссы меньшего слагаемого происходит потеря младших разрядов, что вносит определенную погрешность в результат выполнения данной операции.

После выравнивания порядков производится алгебраическое сложение мантисс.

 

Выполнить самостоятельно:

1) Найти представление десятичного числа А в шестнадцатеричной системе счисления в формате с плавающей точкой.

Тип числа single.

А=-357.2265626; А=-0.203125; А=998.46875;

А=–657.4375; А=998.8125; А=-905,34375; А=897.5625

А=637.65625; А=56.53125; А=-4.78125.

2) Значение переменной А представлено в формате с плавающей точкой в шестнадцатеричной системе счисления. Тип переменной А-single для языка Паскаль. Найти десятичное значение переменной А.

А=C455C200; A=43D09400; A=443F9000; A=C2FF8000;

А=44071С00; A=435D2000; А=C401F000; А= С403ЕС00;

A=C3D87400; A=C3D40000; A=C411FA00; A=3F700000.

 

 

 

Предыдущая12345678910111213141516Следующая

Date: 2015-07-17; view: 2147; Нарушение авторских прав

Понравилась страница? Лайкни для друзей:

Добавить комментарий

Закрыть меню